ルーローの三角形

質問

ルーローの三角形を回転させるとどうして四角形になるのですか？また、一般化してルーローの2n+1角形を回転させると2n+2角形になる理由も教えてください。

回答No.1

shkwta

ルーローの三角形は、正三角形ABCの各頂点をそれぞれ中心とし、正三角形の一辺を半径とする中心角60°の円弧BC,CA,ABで囲まれる図形です。

http://ns.31rsm.ne.jp/~crane/math/tofuku.htm
上のページでわかるように、ルーローの三角形を回転すると正方形になるということではありません。回転軸を固定せずに、適当に平行移動しながら回転させるなら、ルーローの三角形は、正方形に内接しながら回転できるということです。

このとき、ルーローの三角形は、正方形内のすべての点を通るわけではありません。正方形の頂点の近くは通れません。したがって、ルーローの三角形の軌跡は、「角の丸い正方形」になります。
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『ルーローの三角形は、正方形に内接しながら回転できる』

これを証明するには、ルーローの三角形がどっちの方向を向いていても、同じ向き・同じ大きさの正方形が外接することを証明すれば足ります。

正方形PQRSとルーローの三角形ABCを考えます。PQRS,ABCの頂点の記号は時計回りにとります。ルーローの三角形の３つの円弧を弧BC,CA,ABとし、それらの半径をrとします。
PQの中点をWとします。

(1)AがWに一致し、Bが線分QR上にあり、Cが線分SP上にあり、BCがRSに平行の場合を考えます。このとき、QRはBにおいて弧ABに接し、SPはCにおいて弧CAに接します。
　BC=rですから、QRとPSの距離はrです。ゆえに、PQRSが正方形であることから、PQ=QR=RS=SP=r です。
　弧BCは、Aを中心とする半径rの弧ですから、RSは弧BCに接します。
　以上より、正方形PQRSはルーローの三角形ABCに外接します。

(2)Aが線分WQ上にあり、CがSP上にある場合を考えます。ただし、30°＜ ∠PAC ＜ 60°とします。
　このとき、弧BCがRSに接します。また、弧ABがQRに接します。したがって、正方形PQRSはルーローの三角形ABCに外接します。なお、Bは正方形の辺上にはありません。

(3)ルーローの三角形の任意の回転角について、正方形とルーローの三角形を同時に回転させることで上記の(1)(2)のどちらかに帰着させることができます。

以上より、『ルーローの三角形は、正方形に内接しながら回転できる』が証明されました。
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『ルーローの2n+1角形は、正2n+2角形に内接しながら回転できる』

考えてみましたが、三角形のときのように単純にいきません（接する平行線の距離が等しいことは簡単に証明できますが、平行な辺の距離が等しい平行n辺形が、正多角形とは限らないのです！）
時間があるときに考えてみますが、うまい証明のわかる方があればお願いします。

参考URL：

http://ns.31rsm.ne.jp/~crane/math/tofuku.htm