高校レベルの数学です、教えてください！

質問

2x^2＋x^2＋x＋3＝0の解をＡ、Ｂ、Ｃとする。
(1)Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2、(2)Ａ^3＋Ｂ^3＋Ｃ^3を求め。

です。(1)のほうは解けたのですが、(2)の解き方がわかりません。
(2)を求める際に(1)の回答を利用するなどでしたら
(1)は解けているので(1)の回答手順は省略して結構です。
なるべく途中式も詳しくして頂けたら幸いです。
よろしくお願い致します。

回答No.4

tasu9 · ベストアンサー

（２）は次数が高いので、式変形もちょっと大変ですね。
こういうときはＡ、Ｂ，Ｃをもとの方程式に代入します。
２Ａ＾３＋Ａ＾２＋Ａ＋３＝０
２Ｂ＾３＋・・
２Ｃ＾３＋・・
これを辺々たすと
２（Ａ＾３＋Ｂ＾３＋Ｃ＾３）＋（Ａ＾２＋Ｂ＾２＋Ｃ＾２）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋９＝０
（１）ができていればあとは簡単ですね。

回答No.5

springside

３次方程式の解と係数の関係を使うのが定石（必ず解ける）ですが、この問題に限っては、こういう方法（次数下げ）もあります。

2A^3+A^2+A+3=0であるから、A^3=(-1/2)(A^2+A+3)となることを用いて、

A^3+B^3+C^3
=(-1/2){(A^2+A+3)+(B^2+B+3)+(C^2+C+3)}
=(-1/2){(A^2+B^2+C^2)+(A+B+C)+9}
となる。

これに、(1)で求めたA^2+B^2+C^2と、解と係数の関係によるA+B+C=-1/2を代入して終わり。

回答No.3

postro

2x^2＋x^2＋x＋3＝0　は　2x^3＋x^2＋x＋3＝0 のことだとします。
解と係数の関係
A+B+C=-1/2
AB+BC+CA=1/2
ABC=-3/2
を使って
Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2=(A+B+C)^2-2(AB+BC+CA)=(-1/2)^2 - 1=-3/4
Ａ^3＋Ｂ^3＋Ｃ^3 は
Ａ^3＋Ｂ^3＋Ｃ^3=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)+3ABC
というのを知っていれば便利だけど、知らなくてもなんとかなるでしょう。

回答No.2

k_train_9999

これは2x^2＋x^2＋x＋3＝0でなく2x^3＋x^2＋x＋3＝0ではないでしょうか。

　そうだとしたら、Ａ^3＋Ｂ^3＋Ｃ^3をＡ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2、Ａ＋Ｂ＋Ｃ、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ、ＡＢＣを使って表せば、答えは出ます。（積や和で表してみればいいです。）

回答No.1

quads

回答不能。