区間推定の問題
鳥居泰彦先生の書いた「はじめての統計学」という統計学の入門書の153頁にある問題なのですが理解できません。教えていただきたいです。
問題文：あるエレベーター(11人乗り)の利用客の一人一人の体重の母標準偏差は、σ=10kgである ことがわかっている。利用客の中から121人を選んで調査したところ、標本の平均体重は 65kgであった。
(Question)：信頼係数95%のもとでは、満員(11人)での総体重をどのくらいに見積もればいいか。区 間推定せよ。
エレベーターを利用する人達の体重xは正規分布に従っていて、x：N(μ,10^2)である。
n人の体重ｘの和の分布は正規分布の再生性より、N（ nμ , n*10^2 ）に従っている。
つまり、11人の体重の和の分布は、N（ 11*μ , 11*10^2 ）に従っていることになる。
体重xの母集団から11人を標本抽出したときの標本平均は、N（ μ , 10^2/11 ）に従う。
N ( μ , 10^2/11 )に従う標本平均(平均体重)が１１人集まった時の総体重は、標本平均を11倍したと考えると、標本平均を11倍した総体重の分布は、N （ 11μ , 11^2*10^2/11 ）に従うので、総体重の母平均11μを信頼係数95％で区間推定すると、
65*11 - 1.96*10*√(11) ≦ 11μ ≦ 65*11 + 1.96*10*√(11)
715 - 1.96*33.1662 ≦ 11μ ≦ 715 + 1.96*33.1662
650 ≦ 11μ ≦ 780
となる。
以上の様に考えると答えが合うのですが、どうもスッキリしません。理由としては、標本平均を11倍したと考えましたが、標本平均は正規分布に従っているから標本平均を11人分足したものは正規分布の再生性より、N （ 11μ , 11*10^2/11 ) に従うので、総体重の分散は10^2となり、総体重の標準偏差は10になってしまい、答えと合わなくなります。
また、標本の平均体重65kgは121人を選んで調査したと問題文に書いてありますが、これは121人分の体重を加えて121で割った値なのでしょうか？それとも11人を1つの標本として11回抽出して、11回平均体重を出して、この平均体重の平均が65ｋｇなのでしょうか？だとしたら根本的に間違っているきがします・・・。
この問題の解き方を教えていただきたいです。正規分布の再生性の理解に問題がありましたらご指摘ください。
