三角関数

質問

問(1)方程式を解く
０≦ｘ＜２πの時 cos2x=cosx
cos2x=cosx
cos2x-cosx=0
cos(2x-x)=0
cosx=0
∴x=0,π/2,3π/2
だと思ったのですが、答えが違います。どこが間違っているのでしょうか？

問(2)不等式を解く
3√3sinx+cos2x-4<0
これはどうやっていいか全くわかりません。先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが…

問(3)最大値、最小値を求める。
0≦x<πの時 y=cos^2x+sinx
y=cos^2x+sinx
=1-sin^2x+sinx (sinx=tとおき)
=-t^2+t-1
=-(t^2-t)-1
=-(t-1/2)^2+5/4
と最大値が5/4とはわかるのですが最小値はどうやって求めたらいいのでしょうか？与式に０orπを代入するのですか？

問(4)最大値、最小値を求める
0≦x<π/2の時 y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x
これは因数分解できないと思うのですが、どうすればいいのでしょう。-4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが（sin,cosどちらかにそろえること）

どれか一つでもいいのでよろしくお願いします。

回答No.4

kansai_daisuki · ベストアンサー

>問(1)方程式を解く
>０≦ｘ＜２πの時 cos2x=cosx
>cos2x=cosx
>cos2x-cosx=0
>cos(2x-x)=0

ここが違います。
>cos(2x-x)=0
にはなりません。
>cos2x-cosx=0
の次の変形には、
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
（和積の公式）を使います。
α,βは、α+β=2xとα-β=xから求めます。

>問(2)不等式を解く
>3√3sinx+cos2x-4<0
>これはどうやっていいか全くわかりません。先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが…

cos2xをsinのみの式にします。
cos2α=1-2sin^2α

※アドバイスとしては、三角関数の問題を解きたいならば、三角関数の式ぐらいは覚えておいた方が良いです。

三角関数の公式が１万個もあるわけではないですから、数個しかないじゃないですか。思考力が必要であるといわれる数学にも、公式を暗記するぐらいの暗記力は要ります。ネバーギブアップです。と思いきや、問(3)でこの公式使って変形してますが。。。

>問(3)最大値、最小値を求める。
>0≦x<πの時 y=cos^2x+sinx
>y=cos^2x+sinx
>=1-sin^2x+sinx (sinx=tとおき)
>=-t^2+t-1
>=-(t^2-t)-1
>=-(t-1/2)^2+5/4
>と最大値が5/4とはわかるのですが最小値はどうやって求めたらいいのでしょうか？与式に０orπを代入するのですか？

「0≦x<πの時」に「sinx=t」とおいたんですから、
0≦sinx≦1⇔0≦t≦1です。
ここまで出来れば、もうすぐですよね。

※アドバイス：f(t)の範囲を求めるときには、tの範囲も考慮するという考え方を身に付けておく必要があります。

>問(4)最大値、最小値を求める
>0≦x<π/2の時 y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x
>これは因数分解できないと思うのですが、どうすればいいのでしょう。-4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが（sin,cosどちらかにそろえること）

cos^2はcos^2xですか？
とりあえず、そういうこととします。

[1]cosxsinxに関しては、
sin2x=2sinxcosxという公式はありますが、

y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x
=cos^2-2sin2x-3sin^2x
=1-sin^2-2sin2x-3sin^2x
=-4sin^2x-2sin(2x)+1
=...

sinx,cosxのどちらにもそろえれませんでした。

[2]次に、
y=cos^2x-4cosxsinx-3sin^2x
=cos^2x-4cosxsinx-3sin^2x
=(cosx-(2-√7)sinx)(cosx-(2+√7)sinx)

ここで、y=0のとき
cosx=(2±√7)sinx
⇔cosx/sinx=2±√7
⇔sinx/cosx=1/(2±√7)
⇔tanx=(-2±√7)/3

やはり上手くいきませんでした。
問題文はあっていますか？

>どれか一つでもいいのでよろしくお願いします。

とりあえず、全問アドバイスしておきました。
答えは自力で出してみて下さい。

回答No.5

k_train_9999

問１　cos2x-cosx≠ｃｏｓ（２ｘ－ｘ）
　　　ｃｏｓ２ｘをｃｏｓｘで表すとどうなるか。
問２　ｃｏｓ２ｘをｓｉｎｘのみで表すといいです。（三角関数の加法定理）
問３　ｓｉｎｘ＝ｔ　（０≦ｘ≦π）のときのｔの範囲はα≦ｔ≦β　さてαとβはいくつでしょうか。
問４　ｓｉｎｘｃｏｓｘをｓｉｎ２ｘを使って表せばいいです。（三角関数の加法定理）それとｃｏｓ＾２ｘをｃｏｓ２ｘで表し、単振動の合成（又は三角関数の合成）をすると答えが出ると思います。

※三角関数の加法定理、半角、倍角の公式はなぜそうなるのか。三角関数の合成のやり方は覚えるというより出せるようにした方がいいです。
　導き方がわかれば忘れても自分で計算できるでしょうから。※
　行列とかオイラーの公式、ド・モアブルの定理を知っていれば三角関数の公式がもっとわかると思います。
　(cosθ＋ｉｓｉｎθ）＾ｎ＝ｃｏｓ（ｎθ）＋ｉｓｉｎ（ｎθ）　（任意の整数ｎに対し）（これは知っておくといいです。
　証明は数学的帰納法でできます。まだ数学的帰納法をやっていない場合はやったときに自分で証明してみてください。）
　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ　ｅｘｐｘ＝ｅ＾ｘ（これは高校二年の後半か高三で自然対数ｅをやると思うので、
　いまはこういうのがあるくらいでいいです。）

回答No.3

takeji365

加法定理や積和、和積公式、倍角の公式などを習っていますか？習っていたらそれを使いましょう。

(1)でcos2x-cosx=0はcos(2x-x)=0とは変形できません。和積か三角関数の合成を使いましょう。

(2)でcosの倍角の公式を使えばsinに直せます。高2くらいの教科書に載っているかと。

(3)sinx=tの定義域を考えて、グラフを描けば分かるはずです。

(4)sinの倍角の公式を使います。

もし加法定理などを習っていなければ(3)以外は厳しいのではないでしょうか。

お礼

今高１で三角関数を習ったばかりです。もっと教科書の公式とにらめっこしながら、どの公式が使えるか考えてみます。

回答No.2

ryn

全体を通してのアドバイス．
2倍角の公式を確認してみてください．

問(1)
　cos2x-cosx=0　⇒　cos(2x-x)=0
これはやってはいけません．
　cos60°- cos30°
= cos(60°- 30°)
= cos30°
= √3/2
になってしまいます．
cos(2x) をなんとかしてみましょう．

問(2)
> 先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが…
考え方はあっています．

問(3)
sinx=t　とおいたので t には範囲があります．

問(4)
> 4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが
倍角の式を上手く使ってみてください．

お礼

解答ありがとうございます。今高１で習ったばかりです。
普通の加法定理は習ったのですが、二倍角・半角・３倍角の公式のところの授業は欠席した為まだなれておらず気付きませんでした。

回答No.1

eatern27

(1)
＞cos2x-cosx=0
＞cos(2x-x)=0
分配法則みたいなものは成り立ちません。例えば、
0=cosx-cosx≠cos(x-x)=cos0=1です。
2倍角の公式を使えばcosxについての二次方程式になります。

(2)
＞先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが…
その通りです。しかし、sinxをcosxにするのは難しいが、cos2xはsinxで表せる。となると・・・？この後は単なる２次不等式ですね。

(3)
＞=-(t^2-t)-1
＞=-(t-1/2)^2+5/4
この変形はちょっと怪しいですね。

＞与式に０orπを代入するのですか？
そもそも、
＞0≦x<π
なので、x=πは定義されていません。

＞(sinx=tとおき)
tの範囲はどうなりますか？その範囲における
＞=-(t^2-t)-1
の最大値、最小値を求めましょう。

(4)
最大値・最小値を求める時に迷ったら、微分して増減表ですね。

二倍角の公式を使うとcos2x,sin2xの関数となるので、三角関数の合成をすれば、最大値、最小値を求めやすい形になりそうです。