BCSのギャップ方程式からTCを出す際の積分

質問

すみませんが、タイトルの通り、超伝導のBCS理論で、
ギャップ方程式(ギャップは「丸」でOK)から、TCを
出す際に、∫tanh(x)/x)dx (x=0～α)の積分が出てきますが、
この結果ln(Aα)、但し、A=2exp(γ)/π、但し、γ=Eulerの定数、
を導出する具体的な計算方法が書いてある本をどなたか
教えていただけませんでしょうか。
(Tinkhan, Parks, Schrieffer等探しましたが、どれも「この
積分は計算できて、結果は、ln(Aα)である」としか書いて
ありませんでした、、、。級数か、複素積分で行けそうな
感じなのですが、、、、、。
すみません。よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#2380

初めまして、blue_monkeyと言います。

【アドバイス】
参考本
(1)多粒子系の量子論：フェッタ/ワレッカ　
(2)A Course of Modern Analysis：E.T.WHITTAKER&G.N.WATOSON
利用できそうな公式は文献(1)に記述があり、公式の導出については文献(2)（寺寛の数学概論でもいいかも）の練習問題を参考にすれば導出できると思います。

【蛇足：積分の導出：読み捨ててください】
siegmund氏の回答と参考本を元に具体的な計算を途中まで進めてみました。
微分、積分、級数数和の順序の交換についての議論は棚上げとなっています。

【No1のsiegmund氏の回答より】

α
∫tanh(x)/x dx
x

=ln(x)*tanh(α）- ∫ln(x)/(cosh(x)*cosh(x)) dx (1)

第二項積分は、物理条件よりαは∽と近似できるものとして、0～∽まで積分を行うものとします。

【(1)式の第2項の積分の実行】
∫ln(x)/(cosh(x)*cosh(x)) dx

=lim (∂/∂s) ∫x^(s-1)/(cosh(x)*cosh(x)) dx　　　　(2)
s→1

【(2)式の積分の実行】
∫x^(s-1)/(cosh(x)*cosh(x)) dx　　　　　　　　　　　　(3)

(3)の積分を行うために、

ガンマー関数(Γ）と、ゼータ関数（ζ）を導入します。

Γ(s)=∫t^(s-1)*exp(-t) dt

ζ(s)=Σ1/n^(s)

次に以下の級数を考察します。

ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1)　　　　　　　　　　　　　　　　(4)
n

=Σ(-1)^(n)/n^(s-1)*∫t^(s-1)*exp(-t) dt

=∫Σ(-1)^(n)/n^(s-1)*t^(s-1)*exp(-t) dt

=∫t^(s-1)*Σ(-1)^(n)*(-∂/∂t)exp(-n*t) dt

=∫t^(s-1)*(-∂/∂t)Σ(-1)^(n)*exp(-n*t) dt

=∫t^(s-1)*(-∂/∂t)(1/(1+exp(-t)) dt

=∫t^(s-1)*(-exp(-t)/(1+exp(-t))^(2)) dt

=-∫t^(s-1)*(1/(exp(t/2)+exp(-t/2))^(2)) dt

ここでτ=t/2と置くと、

=-(2)^(s)*∫τ^(s-1)*(1/(exp(τ)+exp(-τ))^(2)) dτ

=-(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ

と(4)式の級数は、(3)式の積分に等しいことが導出されました。

ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1)　　　　　　　　　　　　　　　　

=-(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ (5)

Γ(s),ζ(s)の定義を用いて、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

を計算すると、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

=-ΣΓ(s)*(-1)^(n)/n^(s-1) (6)
n

((6)式の導出は、書く根性がなくなってきたので、省略します。）
(6)式に(5)式の結果を代入すると、

(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)

=(2)^(s-2)*∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ

上式を整理すると、

∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^(2)) dτ=2^(2-s)*(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1) (7)

(7)式により(3)式の積分が、Γ関数とζ関数で表現されることがわかります。(7)式を(2)式に代入し、偏微分の計算と極限操作をすれば、おそらく所用の表現式が求まると考えています。最後まで計算していませんので、あしからず。

誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンナサイ。