BCSのギャップ方程式からTCを出す際の積分

質問

すみませんが、タイトルの通り、超伝導のBCS理論で、
ギャップ方程式(ギャップは「丸」でOK)から、TCを
出す際に、∫tanh(x)/x)dx (x=0～α)の積分が出てきますが、
この結果ln(Aα)、但し、A=2exp(γ)/π、但し、γ=Eulerの定数、
を導出する具体的な計算方法が書いてある本をどなたか
教えていただけませんでしょうか。
(Tinkhan, Parks, Schrieffer等探しましたが、どれも「この
積分は計算できて、結果は、ln(Aα)である」としか書いて
ありませんでした、、、。級数か、複素積分で行けそうな
感じなのですが、、、、、。
すみません。よろしくお願いいたします。

回答No.1

siegmund

最近難しい質問が多いな～(^^;)

今手元に適当な本がありませんが，以下のようなことです．

α = 2 (h/2π) ω_D / k_B T_c で，弱結合の話ですから，
αは十分大きい．

まず，x → ∞ のとき，tanh x → 1 ですから，
被積分関数 f(x) は x が大きいとき 1/x のように振る舞います．
これが ln α の起源です．
物理的に大事なことは ln α 依存性です．
A は大して重要ではありません．

一方，x → 0 では，f(x) → 1 です．

じゃあ，荒っぽく
　　f(x) = 1/x　　(x > 1)
　　f(x) = 1　　　(x < 1)
として積分してみてください．
　　∫_0^α f(x) dx = 1 + ln α = ln (eα)
どこで積分を切り替えるかで，e のところが少し変わりますね．

部分積分すれば
　　∫_0^α f(x) dx = (ln α) tanh α - ∫_0^α {(ln x) / cosh^2 x} dx
ですが，αは十分大きいから，右辺第１項は ln α でＯＫ．
第２項の積分はα=∞として(被積分関数の x→∞ での漸近形を考えてください)，
単なる定数を与える定積分になります．
必要なら数値積分すればよろしい．
なお，この定積分が ln A になることが知られています．
Γ関数の積分表示を応用するのだったと思いますが，
詳細はいまちょっと思い出せません．

お礼

大変、ありがとうございます。感激しております。

>>なお，この定積分が ln A になることが知られています．
ただ、ここまではParks-Iに載っていました。

>>Γ関数の積分表示を応用するのだったと思いますが，
最後の、この情報(!)を元に、今、久し振りに、
岩波の数学公式IIIを、睨んでおるのですが、日頃の不勉強
のために、未だ導出できません、、、。すみません。
積分表記は、digammaではなくて、gamma(Γ)なのでしょうか。
もうしわけありませんが、方針｜参考書等わかりましたら
よろしくお願いいたします。

P.S.------------------------------------------------
最初、「実軸にカットを入れて原点の周りで一回転して往復すれば
出るじゃん、あとはcosh^-2の留数拾うだけだな」と思ったのですが、
log(x)にカットを入れても、log(x・e^(2πi))=log(x)+2πi
となってしまい、被積分関数が消えてしまいました、、、。
うーん。情けない、、、、。