変分法と級数の関係

質問

変分法と級数との接点は何かありますか。もしあったとすれば素人にも分かりやすく教えていただけないでしょうか？

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

差分法がタイプミスで変分法になることがあるでしょうか。変分法と級数の関係の方が面白そうです。すぐに思い付くのはWKB法での量子論と古典論の関係です。確率振幅はファインマンの経路積分で
　N∫ΠdpΠdq exp{(i/h)A(p,q)}
のように表わされます。ここでhはプランクの定数、Aは作用積分です。これをプランクの定数についての級数に展開し、プランクの定数が小さい極限を考えるます。Aが大きいと指数関数の引数が激しく振動するので、積分への主な寄与はAが極小になる軌道から来ると考えられます(漸近展開の考え方)。こうして作用が極小になるという変分法で定められるのが古典的軌道であり、量子論はhの級数をもっと高次の項まで取ったものであると解釈されます。変分法と級数の関係は他にも重要なものがありそうです。

お礼

頭の中がクラクラしてきましたが、数学に対する畏敬の念は益々強くなってきます。どうもご教示有難うございます。近似法で勉強します。

回答No.3

KENZOU

変分原理はざっくりといえば真の解からのズレが最小になる（δＩ→０）ようなパラメータを求めて、近似解を見出していくいくことと思います。
微分方程式も解を級数で表す場合がありますね（←解が積分で表せない場合や、積分で表せてもその積分が計算できない場合など）。級数の冪をどこで切るかによりますが、いずれにしても級数解は近似解ですね。
ご質問の変分法と級数の接点は、この辺にあるのではと思います。

お礼

（能力ｘ勉強）不足で残念ながら理解に至らないのでが数学の香りをかげた感じがいたします。ありがとうございました。

回答No.1

mathsan

>変分法と級数の関係 の所を
差分法と級数の関係 に訂正しての回答ではダメでしょうか
「差分(とくにΔ=1として)と級数の関係」 で説明しますと
「微分と積分の関係」の離散的な場合 と捉えることができると思います。
その理由は

1 互いに逆演算になること(厳密には任意定数の違いはありますが)
2 離散化 ←→ 連続化 により互いに移り変わる

です。

お礼

有難うございました。又妙なミスタイプをいたしましてすみませんでした。私にはありがたいご教示でした。しかし変分法という項目が数学辞典に出ていたら私ならそういうものがあるのかと信じてしまいそうです。