ベルヌーイ試行における試行回数の推定

質問

成功確率 p が既知のベルヌーイ試行の結果、
x 回の成功が観測されているとします。
このとき、全体の試行回数　N の分布は
どのように推定すれば良いのでしょうか？
最後の試行が x 回目の成功という条件が
ある場合は、p(N|x, p) は負の二項分布に
従うのでしょうが、
知りたいのは、そうした条件が無い場合です。
p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x)　
なのでしょうが、正規化係数が分りません。
右辺をNを０から無限大まで和をとった場合、
簡単な式になるのでしょうか？
よろしくご教示ください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x)　
> Nを０から無限大まで和をとった場合、 簡単な式になるのでしょうか？

p と x は固定ですよね．
(1)　　p^x*(1-p)^(N-x)
で，N<x では意味がないですから，N の和は N = x から N = ∞まで．
あれ？，無限等比級数の和ですよね．
N - x = M とおいて
(2)　　Σ_{N=x}^∞ p^x*(1-p)^(N-x)
　　　　= Σ_{M=0}^∞ p^x*(1-p)^M
　　　　= p^x / [1-(1-p)]
　　　　= p^(x-1)
２行目から３行目へ移るところで，無限等比級数の和の公式を使っています．

やけに簡単ですが，私なにか誤解していますかね？
ちょっと心配になってきました．

お礼

(^_^;)
ご指摘の通りですね。
お恥ずかしいです。
なんか、いつの間にか
こんな簡単な計算を頭から回避するようになっていました。
ということで、
成功確率 p 成功回数 x のベルヌーイ試行の
試行回数の分布 p(N|p,x)　は、
p(N|p,x)
= p^(1-x)* p^x * (1-p)^(N-x)
= p * (1-p)^(N-x)
でした。
ありがとうございました。