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ベルヌーイ試行における試行回数の推定

成功確率 p が既知のベルヌーイ試行の結果、 x 回の成功が観測されているとします。 このとき、全体の試行回数 N の分布は どのように推定すれば良いのでしょうか? 最後の試行が x 回目の成功という条件が ある場合は、p(N|x, p) は負の二項分布に 従うのでしょうが、 知りたいのは、そうした条件が無い場合です。 p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x)  なのでしょうが、正規化係数が分りません。 右辺をNを0から無限大まで和をとった場合、 簡単な式になるのでしょうか? よろしくご教示ください。

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  • ベストアンサー
  • siegmund
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回答No.1

> p(N|x, p)∝p^x*(1-p)^(N-x)  > Nを0から無限大まで和をとった場合、 簡単な式になるのでしょうか? p と x は固定ですよね. (1)  p^x*(1-p)^(N-x) で,N<x では意味がないですから,N の和は N = x から N = ∞まで. あれ?,無限等比級数の和ですよね. N - x = M とおいて (2)  Σ_{N=x}^∞ p^x*(1-p)^(N-x)     = Σ_{M=0}^∞ p^x*(1-p)^M     = p^x / [1-(1-p)]     = p^(x-1) 2行目から3行目へ移るところで,無限等比級数の和の公式を使っています. やけに簡単ですが,私なにか誤解していますかね? ちょっと心配になってきました.

paatje
質問者

お礼

(^_^;) ご指摘の通りですね。 お恥ずかしいです。 なんか、いつの間にか こんな簡単な計算を頭から回避するようになっていました。 ということで、 成功確率 p 成功回数 x のベルヌーイ試行の 試行回数の分布 p(N|p,x) は、 p(N|p,x) = p^(1-x)* p^x * (1-p)^(N-x) = p * (1-p)^(N-x) でした。 ありがとうございました。

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