ベルヌーイ試行について

質問

ベルヌーイ試行について

閲覧ありがとうございます。
現在確率統計の勉強中なのですが分からない問題があるので質問させてください。

成功確率が(0<p<1)のベルヌーイ思考を考える。X[1],X[2], ...を独立な確率変数列で、確率分布は共通で
P(X[n]=1)=p P(X[n]=0)=1-pである。ここでT[0]=0とおき。

T[n]=min{k > T[n-1] : X[k] =1} , S[n]=T[n] - T[n-1] (n=1,2...)

とし、確率変数列T[1],T[2], ... および S[1],S[2]を定めるとT[n]＝S[1]+S[2]+...+S[n] (n=1,2...)となるとき次を答えよ。

(1) S[1],S[2]...は独立な確率変数で、同じ確率分布をもち,各nについてP(Sn = k)=p(p-1)^(k-1) (k=1,2,...)で 与えられることを示せ。ただし独立性についてはS[1]とS[2]の独立性について示せ。

(2)S[n]の期待値と分散を求めよ。

(3)n≧1の時Tnの確率分布、つまり取りうる値の集合Im T[n]と,m∈Im Tnに対する確立P=(Tn=m)を求めよ。

(4)n≧1の時,T[n]の期待値と分散をそれぞれ求めよ。

この4題です。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064

ヒント

(1)
S[n]はn-1回目の成功から次に成功するまでの試行回数を表しますので、

> 同じ確率分布をもち,各nについてP(Sn = k)=p(p-1)^(k-1) (k=1,2,...)で

あることは簡単にわかるでしょう。
独立性については、S[1]とS[2]の同時確率関数を求めて、それぞれの確率関数に分解できることで証明します。

(2)
幾何分布を調べてください。

(3), (4)
幾何分布に従う確率変数の和は、負の二項分布に従います。