金利の計算

質問

今金融学を勉強しています。あまりに分からず困ってます。どなたか助けてください。以下が問題です。

今、あなたの会社で新規で14万５千円の製品の購入を考えてます。この製品の購入代金全額を金融機関から借りるとすると9％の利子がかかりますが、この製品の製造元の特別ローンを使うと、今2万円の支払い、その後４年間で、36904円ずつ支払えばよいとのことです。ではこの特別ローンの利率はいくらですか。

簡単そうに見えて難しいです。

最後に質問ですが、この手の問題を多く解きたいです。何か良い書籍があったら是非教えてください。よろしく御願い致します。

回答No.4

Broner · ベストアンサー

「年金利をP（小数で表現、３％なら０．０３）として、」が正解です。

詳細に説明します。
一年目
残金125000に金利が増えますので元利合計は 125000(1+P) となります。
これは難しい事ではなく常識です。
この金額に一年目の支払いをすると、その残金は
125000(1+P)-36904 　　となります。

二年目
残金 125000(1+P)-36904 に金利が増えますので元利合計は
［125000(1+P) -36904］(1+P) となります。
この金額に二年目の支払いをすると、その残金は
［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904　　　　となります。

三年目
残金 ［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904　に金利が増えますので元利合計は
　　<［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904 >(1+P) となります。
この金額に三年目の支払いをすると、その残金は
<［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904 >(1+P)-36904　　となります。

四年目
残金 <［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904 >(1+P)-36904 に金利が増えますので元利合計は
{ <［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904 >(1+P)-36904 }(1+P) となります。
この金額に四年目の支払いをすると、その残金は 完済ですからゼロとなります。
{ <［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904 >(1+P)-36904 }(1+P)-36904=0

これをF(P)と称して展開すると

F(P)={ <［125000(1+P) -36904］(1+P)-36904 >(1+P)-36904 }(1+P)-36904
=125000P**4+463096P**3+602384P**2+278576P**1-22616=0
ここでP**4は、Pの4乗ということです。あとは3乗、2乗、1乗と続きます。

ここで、P=0.07 を代入すると約ゼロとなりますので、あなたの言っていた通りで合っています。

　こんな計算は解析的には解けません。時間もかかるので、適当な金利を初期値として入れて数値的にコンピュータを使って解くわけです。
例えば、上式は、次式になります。
125000P**4+463096P**3+602384P**2+278576P**1= 22616

簡単に説明すると、
初期値にP=0.08 を入れると
左辺は、右辺よりも大きくなります。また、左辺自体が P が常に正だから、単調増加の関数ですから
初期値 P を小さくしなければならない。

初期値にP=0.06 を入れると
左辺は、右辺よりも小さくなります。また、左辺自体が単調増加の関数ですから
初期値 P を大きくしなければならない。

初期値にP=0.07 を入れると
左辺は、22613.84478 右辺よりも小さくなります。また、左辺自体が単調増加の関数ですから
初期値 P を大きくしなければならない。P=0.071 を初期値として進めていきます。
　次は少数三桁目の算定です。

このように、初期値に適当な数値を入れて、試算によって解を求めて行き、解が許容誤差の範囲（有効数字四桁など）に収まれば、その時点で解とするのです。
　このような解の求め方は一般的でなく、解けない場合もあります。
ニュートン法は、もっと理論的にすばやく解を求める方法です。
参考書としてはローンの計算書、コンピュータの数値計算書（一番初歩です。）を
参照してください。

どうです、わかりましたか。

回答No.3

dongry

金融学だからとか難しく考える必要はないのではないでしょうか。

この問題は、マンション購入時にローンの元利金等返済のシミュレーションをするときと同じですよね。
期間が長くなれば長くなるほど3次、4次よりももっと複雑な方程式になりますから、文系人間には解けなくなります；）

私は経済系の学部を卒業し、金融機関に勤める人間ですが、パソコンや電卓なしにはこのような問題は解けません（解けても時間が死ぬほどかかります）。

考え方だけ理解しておいて、計算はパソコンにお任せする、ということでもよいのですか？
であれば、考え方を以下に記しますね。

＃2の方と同じことになりますが、金利を同じくPとしましょう。
145,000円のうち、今20,000円を支払い、残り(125,000円)をローンにするのですから、
1年後の金利は（125,000×P）円ですよね。
そして、1年目に支払った元本部分は、
（36,904－125,000×P）円になりますよね。

2年後はどうなるでしょう。
2年後（3年目開始時点の元本は、
{125,000－（36,904－125,000×P）｝円であることは大丈夫ですか？
3年目に支払う金利は、
{125,000－（36,904－125,000×P）｝×P 円、ですよね。

これを繰り返していき、最後に元本残高が0になるところのPが答え、ということです。

計算方法自体を学ぶのであれば解析の本を、考え方を学ぶのなら、PC（エクセル）で、
期首元本（1年目なら125,000円）、
その期に支払う金利（上式）、
その期に減る元本（36,904－××）、
期末元本（125,000－その期に減る元本）、
の式を入れてからPを適当にいじって調整していけばよいのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。これを簡単に計算する方法があるのを見つけました。解は以下のとおりです。

　買い物145000円
　頭金 20000円
　4年ローン 36904円/年

　145000 - 20000 = 125000 (残金)

125000 / 36904 = 3.38716

４年複利で計算した結果、36904円の3.38716倍払ったことになります。これを iを利率、tを経過年で示した場合のPV(現在価値）計算表（1 - (1/(1+i)^t)）/iで見つけます。すると、4年と3.3872の交差点で7%と出ます。これが答えだそうです。

回答No.2

Broner

年金利をP（小数で表現、3%なら0.30）として、方程式を作って、それを数値的に解析して、ニュートン法で解きます。（Pに対する四次方程式になります。）

さて、購入時に二万円払うのだから残金は
　　145000-20000=125000となる。

{<〔125000（P+1）-36904〕(P+1)-36904>(P+1)-36904}(P+1)-36904=0

この方程式を数値的に解析して、ニュートン法で解くことになると思います。

あなたの考えと合っていますか。
あっていれば、必要なのは数値解析の本です。

補足

答えは年利7％ですが、頂いた式がこれと合致するかどうか分かりません。合致すれば、考え方はあっていますが私にはそれも判断できません。申し訳ございません、それぐらい金融学が私にとって難しいです。

回答No.1

noname#9248

金融学はしりませんが中学校レベルだと
20000+36904*4=167616
167616/145000=1.155972
1.155972^.25=1.0369
よってひっかけじゃなければ
3.69％