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三角形の面積~

Aが原点、B(a,b)、C(c,d)の時、 三角形の面積が 1/2|ad-bc| で表せると思うのですが、どうしてこうなるか分るかたいますか?というより、習った記憶がないのですが、習うとしたら本来、どの段階で習うものでしょうか? 東大文系数学25ヵ年ってのを今、解いているんですが、ちょっと気になったので質問させていただきました。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.4

証明が欲しいのであれば、 例えば、 △ABC =(1/2)|AB||BC|sinθ =(1/2)√(|AB|^2|BC|^2-|AB|^2|BC|^2cos^2) =(1/2)√(|AB|^2|BC|^2-(AB・BC)^2) =(1/2)√((a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2) から証明できます。(ABとBCはベクトルだと考えて下さい。また、AB・BCはABとBCの内積を表します) 私は、中学生のときに、この公式(?)を聞きましたが、ちゃんとした証明を知ったのは、高校の時だった気がします。が、学校で習った記憶はあまりありません。 ちなみに、ハミルトン・ケーリーにもばっちり行列式が出てきますね。似たようなの、ではなくて、そのものですね。

その他の回答 (5)

  • dop
  • ベストアンサー率25% (1/4)
回答No.6

すみません、訂正です。No.5の7行目の内積ってところは外積です。大変失礼しました。

  • dop
  • ベストアンサー率25% (1/4)
回答No.5

まずAB=x、AC=y(ただしx=(a,b),y=(c,d)となるベクトル)さらに二つのベクトルがなす角をθとします。ベクトルを使って三角形の面積を表すには S = 1/2|x||y|sinθ で表せます。これを求めるためにまずはsinθを出します。 内積より xy = ac+bd = |x||y|cosθ これを変形して cosθ = (ac+bd)/(|x||y|) さらに sinθ = √(1-cosθ^2)より、これにcosθを代入して sinθ = √(1-(ac+bd)/(|x||y|)) ですね。これを最初の面積の式に代入すると S = 1/2√(|x|^2|y|^2-(xy)^2) となります。ベクトル成分に直すと S = 1/2√((a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2) と表せます。さらにこれを整理すれば S = 1/2√((ad)^2-2abcd+(bc)^2)  = 1/2√((ad-bc)^2) となり、面積は必ず正になることを考えて根号をとると S = 1/2|ad-bc| と表せます。わかりにくい回答ですみません・・・

  • maguroya
  • ベストアンサー率11% (1/9)
回答No.3

高校の数学で習ったかどうかは忘れましたが、ベクトルの外積を使えば計算できます。

  • proust
  • ベストアンサー率57% (62/108)
回答No.2

D(a+c,b+d)をおき、 平行四辺形ABDCの面積を考えてはいかがでしょう。 今、線形代数の入門書を読んでいますが、ad-bcっていうのはこれに出てくる「行列式」っていうのみたいですね。

balanbajp2
質問者

お礼

なんか解けそうな気はするんですが、ちょっとわかりません^^;  行列の授業もとってったんですが、受験に必要なかったり、定期考査に出なかったりでほとんど内職状態で…^_^;なんかハミルトン・ケーリーで似たようなのあった気が・・・↓

  • 05062412
  • ベストアンサー率13% (53/387)
回答No.1

おそらく、中学の知識で解けるのではないかと思います。2点から、その直線が求めることができ、かつ、三角形の面積の公式が分かれば、とけますよね?

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