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四角形の面積を求める問題
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問題の四角形が添付した下の図のような形であるという前提で回答します。 計算が少し面倒なので誤りがあったらごめんなさい。 四角形の辺ABとCDを延長して交点をEとすると∠E=50°以下角度の「°」を省略する。 図のようにAB=CD=xcm、AE=ycm、DE=zcmとすると 三角形EBCについて正弦定理から sin50:sin60:sin70=5:(x+z):(x+y) したがって x+y=5sin70/sin50 …(1) x+z=5sin60/sin50 …(2) また三角形EADについて余弦定理から y^2+z^2-2yzcos50=9 …(3) (1)-(2)からy-z=5(sin70-sin60)/sin50 図よりy>z、すなわち y-z>0なので 2乗してy^2+z^2-2yz=25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2 …(4) (3)-(4)から2(1-cos50)yz=9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2 yz=〔9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)〕/2(1-cos50) …(5) (1)(2)(5)から 三角形EBC=1/2(x+y)(x+z)sin50=(1/2)(25sin60sin70/sin50) 三角形EAD=1/2(yz)sin50=(1/2)sin50〔9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)〕/2(1-cos50) ここで四角形ABCDの面積は三角形EBCの面積から三角形EADの面積を引いたものだから 四角形ABCD=(1/2)〔(25sin60sin70/sin50)-sin50[9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)]/2(1-cos50)〕 (sin60=√3/2 を代入すれば多少見かけは変わりますが、sin50,sin70などがあるのですっきりした形にはなりません) 数値計算をすると四角形の面積は8.5780…cm^2くらいです。 (x≒2.3813…,y≒3.7520…,z≒3.2712…)
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- mnakauye
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こんにちは。 解答をアップしようと思いましたら、No3の方がアップされましたね。 私の解答もまったく同じです。 重なるので回答は避けます。 ちなみに、等しい辺の長さ a は出したければ {5(sin60+sin70)/sin50}-√{(25(sin60+sin70)/sin50}^2-16/(1-cos50)} となります。 計算部分は結構ややこしいですね。
- mnakauye
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こんにちは。 No.2です。 私の解答はマチガイです。ちょっと条件を見間違っていました。 正しい解答は、すぐにアップします。すみません。
- mnakauye
- ベストアンサー率60% (105/174)
こんにちは。 まずは辺AB=CD=xcmとして、三角形ABDと三角形BCDで辺BDを表すと BD^2=x^2+25-10x・cos60度 BD^2=x^2+9-6x・cos120度 なので、25-10x・cos60度=9-6x・cos120度 cos60度=1/2、cos120度=-1/2を使って、x=2が出ます。 あとは三角形ABCと三角形CDBの面積を、5と2と70度。2と3と110度を使って出せばよいですね。
- thedorothy
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平行四辺形なら5X3だが、これはひし形かな だとすると、 5x3÷2かな。
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お礼
ありがとうございました! とてもわかりやすかったです 中三向けの問題だと思ってたのに……