四角形の面積を求める問題

質問

四角形の面積を求める問題です。
四角形abcdにおいて、辺ab=辺cd、∠ｂ＝60°、∠ｃ＝70°、辺ｂｃ＝５ｃｍ、辺ad＝３ｃｍのとき、
四角形abcdの面積を求めよ。
　の解と、詳しい解き方を教えてください。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

問題の四角形が添付した下の図のような形であるという前提で回答します。
計算が少し面倒なので誤りがあったらごめんなさい。

四角形の辺ABとCDを延長して交点をEとすると∠E=50°以下角度の「°」を省略する。
図のようにAB=CD=xcm、AE=ycm、DE=zcmとすると

三角形EBCについて正弦定理から
sin50:sin60:sin70=5:(x+z):(x+y)
したがって
x+y=5sin70/sin50　…(1)
x+z=5sin60/sin50　…(2)

また三角形EADについて余弦定理から
y^2+z^2-2yzcos50=9 …(3)

(1)-(2)からy-z=5(sin70-sin60)/sin50
図よりy>z、すなわち y-z>0なので
2乗してy^2+z^2-2yz=25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2 …(4)

(3)-(4)から2(1-cos50)yz=9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2
yz=〔9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)〕/2(1-cos50)　　…(5)

(1)(2)(5)から
三角形EBC=1/2(x+y)(x+z)sin50=(1/2)(25sin60sin70/sin50)
三角形EAD=1/2(yz)sin50=(1/2)sin50〔9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)〕/2(1-cos50)

ここで四角形ABCDの面積は三角形EBCの面積から三角形EADの面積を引いたものだから
四角形ABCD=(1/2)〔(25sin60sin70/sin50)-sin50[9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)]/2(1-cos50)〕

(sin60=√3/2 を代入すれば多少見かけは変わりますが、sin50,sin70などがあるのですっきりした形にはなりません）

数値計算をすると四角形の面積は8.5780…cm^2くらいです。 (x≒2.3813…,y≒3.7520…,z≒3.2712…)

回答No.5

mnakauye

こんにちは。

　解答をアップしようと思いましたら、No3の方がアップされましたね。

　私の解答もまったく同じです。

　　重なるので回答は避けます。

　　ちなみに、等しい辺の長さ　ａ　は出したければ

　　{5(sin60+sin70)/sin50}-√｛(25(sin60+sin70)/sin50}^2-16/(1-cos50)｝

　　となります。

　　計算部分は結構ややこしいですね。

回答No.3

mnakauye

こんにちは。

Ｎｏ．２です。　私の解答はマチガイです。ちょっと条件を見間違っていました。

正しい解答は、すぐにアップします。すみません。

回答No.2

mnakauye

こんにちは。

　まずは辺ＡＢ＝ＣＤ＝ｘcmとして、三角形ABDと三角形BCDで辺BDを表すと

　　BD^2＝ｘ＾２＋２５－１０ｘ・cos６０度
　　BD^2＝ｘ＾２＋９－６ｘ・ｃｏｓ１２０度　なので、２５－１０ｘ・cos６０度＝９－６ｘ・ｃｏｓ１２０度

　　ｃｏｓ６０度＝１/２、ｃｏｓ１２０度＝-1/２を使って、ｘ＝２が出ます。

　　あとは三角形ＡＢＣと三角形ＣＤＢの面積を、５と２と70度。２と３と110度を使って出せばよいですね。

お礼

ありがとうございました！
とてもわかりやすかったです

中三向けの問題だと思ってたのに……

回答No.1

thedorothy

平行四辺形なら５Ｘ３だが、これはひし形かな
だとすると、
5x3÷2かな。