三角形の面積の求め方

質問

正三角形ABCが円Oに内接していて、
直径BDと辺ACの交点をE,
ADとBCを延長し交点をFとする。
DEは１cm
このときの三角形ABFの面積を求める問題があります。
（点Aを上方において、点Bを左下、点Cを右下として正三角形をとった場合
点Dは点Cの上に位置しています。）

この問題でどういう流れでABFの面積を求めたらよいのかわかりません。

合同を使って解こう考えたのですが
Aから辺BFに対して垂直に線を引いてその点をGとしたとき
AGの長さの求め方がわかりません。
あとOEの長さも求めたいのですが、よくわかりません。

おしえてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

まず、円周角の定理と正三角形の性質から
　△ＡＢＤ∽△ＥＢＣ　になります。
　△ＥＢＣは30°、60°、90°の三角形だから、ＣＥ＝ｘｃｍとすると、
　ＢＣ＝２ｘｃｍ、ＢＥ＝(√３)ｘｃｍ
　すると、ＢＤ＝(√３)ｘ＋１ｃｍ
　あとは相似比　ＢＣ：ＢＤ＝ＢＥ：ＢＡ　に代入すればｘが求まります。
　次に、直径の弧に対する円周角で、∠ＢＡＦ＝90°。また∠ＡＢＦ＝60°から
　ＢＦ＝２ＡＢとなるので、あとはすべて求まりますね。

回答No.4

phys

自分で考えられるのが良いと思います。
次のヒントがあれば余裕です。

１．底辺が同じ長さで高さが同じなら面積は等しい
２．直径の円周角は９０°
３．二等辺三角形

あとは自分で考えてみましょう。下手に答えを見て納得しても身になりません。

回答No.3

debut

No2です。
説明を補います。
円周角の定理は、弧ＡＢに対する円周角は等しいので∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ（∠ＥＣＢのこと）
で使ってます。また、∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ（∠ＥＢＣのこと）＝30°はわかりますよね。

＞AGの長さの求め方がわかりません。
　　ＡＧの長さはＢＥの長さと等しいです。

＞あとOEの長さも求めたいのですが、よくわかりません。
　　ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ　ですから、ＢＯは円の半径なので１/２ＢＤを求めれば計算できます。

回答No.1

postro

BDとACはEで直交していて、∠ADB=60°　、∠CAF=30°
とわかれば、AD=2　　、AB=BC=2√3　　、∠AFB=30°　、∠BAF=90°
などがわかります。

お礼

NO１からNO４のみなさま、

アドバイス、どうもありがとうございました。
色々な解き方があることを知り、
とても役にたちました。
結果ではなくて、導き方をアドバイスいただけてよかったです。
基本的な定理とか性質を理解して使いこなせるように
なりたいと思います。