空間における平面の式 （ベクトル）

質問

またまたベクトルに関しての質問です
空間における平面をどうやって式であらわすのか、或いは平面を表す式を見ても、なんでそうなるのかが分かりません。例えば以下のような問題のとき方がわかりません
直線１
x=1+2t, y=2-t, z=-1+3t
直線２
x=2-3m, y=2m, z=1-m
という２つの直線を表す式があります。で、直線２を含み、また、直線１と平行である平面の式をもとめなさい。
どうやっていいのか見当がつきません。よろしくお願いします。

回答No.3

tarame · ベストアンサー

空間における図形は、
【直線】は、直線と平行なベクトルｍ↓と通る１点で表すことができます。
　　ｍ↓＝(a,b,c),点(x1,y1,z1)のとき
　　直線は　x=x1+at, y=y1+bt, z=z1+ct です。
【平面】は、平面に垂直なベクトルｕ↓と通る１点で表すことができます。
　　ｕ↓＝(a,b,c),点(x1,y1,z1)のとき
　　平面の方程式は、a(x-x1)＋b(y-y1)＋c(z-z1)＝0　です。

さて、この問題ですが、
直線１,直線２の方向ベクトルをｍ↓,ｎ↓とすると
ｍ↓＝(2,-1,3)，ｎ↓＝(-3,2,-1)
求める平面に垂直なベクトルをｕ↓＝(a,b,c)とすると
直線２を含み、直線１と平行であることから
ｍ↓⊥ｕ↓，ｎ↓⊥ｕ↓となり、ｕ↓＝s(5,7,-1)が求まります。
また、直線２を含むことから、平面は点(2,0,1)を通ることが分ります。

お礼

分かりやすいご説明ありがとうございました！
問題解決です！

回答No.4

Rossana

#2の補足回答
x=f(s,t)
y=g(s,t)
これらからs=…,t=…にして
z=h(s,t)に代入すればいいと思います（たぶん）．

お礼

２度ものご回答ありがとうございます！

回答No.2

Rossana

直線1
(x,y,z)=(1,2,-1)+t(2,-1,3)
直線2
(x,y,z)=(2,0,1)+m(-3,2,-1)

直線2は点(2,0,1)を通り方向ベクトル(-3,2,-1)の直線ですから，これに何でもいいから方向ベクトルd↑のスカラー倍を加えて（↑はベクトルを表現しています．）
直線2を含む平面のベクトル方程式は
p↑=(2,0,1)+s(-3,2,-1)+td↑
と表現できます．

でも，求めたいのは直線1と平行なのが求めたいので，直線1の方向ベクトル(2,-1,3)をd↑にとれば
求める平面は
p↑=(2,0,1)+s(-3,2,-1)+t(2,-1,3)
となります．
イメージしながら解いていきましょう．

お礼

ご回答ありがとうございました
p↑=(2,0,1)+s(-3,2,-1)+t(2,-1,3)
納得しました。　ただ、この式をx,y,zを含んだ一つの式にしなくてはならないんですが、それは単純に上の式を使って代入したりして求められるんでしょうか。

回答No.1

oosawa_i

もう本屋が開く時間になるので、本屋さんでその分野の参考書を何冊か調べて、わかりやすそうな１冊を買ってきてはどうですか。
　あなたの書いた問題とほぼ同じ問題が例題に載っていますよ。
　何回も質問するより、１冊を勉強した方が早いし、身に付くと思うのですが。

お礼

参考書を買いたいのは山々なんですが、ここは買える環境じゃないので、ここに質問させていただきました。取り寄せるって手もあるんですが、時間がかかるし、なるべく早く理解しておきたかったのです。
ありがとうございました