- ベストアンサー
空間における平面の式 （ベクトル）
またまたベクトルに関しての質問です 空間における平面をどうやって式であらわすのか、或いは平面を表す式を見ても、なんでそうなるのかが分かりません。例えば以下のような問題のとき方がわかりません 直線１ x=1+2t, y=2-t, z=-1+3t 直線２ x=2-3m, y=2m, z=1-m という２つの直線を表す式があります。で、直線２を含み、また、直線１と平行である平面の式をもとめなさい。 どうやっていいのか見当がつきません。よろしくお願いします。
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- Rossana
- ベストアンサー率33% (131/394)
#2の補足回答 x=f(s,t) y=g(s,t) これらからs=…,t=…にして z=h(s,t)に代入すればいいと思います（たぶん）．
お礼
２度ものご回答ありがとうございます！
- Rossana
- ベストアンサー率33% (131/394)
直線1 (x,y,z)=(1,2,-1)+t(2,-1,3) 直線2 (x,y,z)=(2,0,1)+m(-3,2,-1) 直線2は点(2,0,1)を通り方向ベクトル(-3,2,-1)の直線ですから，これに何でもいいから方向ベクトルd↑のスカラー倍を加えて（↑はベクトルを表現しています．） 直線2を含む平面のベクトル方程式は p↑=(2,0,1)+s(-3,2,-1)+td↑ と表現できます． でも，求めたいのは直線1と平行なのが求めたいので，直線1の方向ベクトル(2,-1,3)をd↑にとれば 求める平面は p↑=(2,0,1)+s(-3,2,-1)+t(2,-1,3) となります． イメージしながら解いていきましょう．
お礼
ご回答ありがとうございました p↑=(2,0,1)+s(-3,2,-1)+t(2,-1,3) 納得しました。 ただ、この式をx,y,zを含んだ一つの式にしなくてはならないんですが、それは単純に上の式を使って代入したりして求められるんでしょうか。
- oosawa_i
- ベストアンサー率33% (536/1602)
もう本屋が開く時間になるので、本屋さんでその分野の参考書を何冊か調べて、わかりやすそうな１冊を買ってきてはどうですか。 あなたの書いた問題とほぼ同じ問題が例題に載っていますよ。 何回も質問するより、１冊を勉強した方が早いし、身に付くと思うのですが。
お礼
参考書を買いたいのは山々なんですが、ここは買える環境じゃないので、ここに質問させていただきました。取り寄せるって手もあるんですが、時間がかかるし、なるべく早く理解しておきたかったのです。 ありがとうございました
関連するQ&A
- 空間ベクトルの問題ですが、教えてください。
空間ベクトルの問題ですが、教えてください。 問題 次の平行な２直線を含む平面の方程式を求めよ。 （Ｘ-１）/３＝（Ｙ＋２）／４＝（Ｚ＋３）/－５ （Ｘ＋１）/３＝ Ｙ/４＝（Ｚ－１）/－５ 解答は １３Ｘ－Ｙ＋７Ｚ＝－５ となっているのですが 解き方が分かりません。 分かり易く教えてくださる方いましたら よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 空間ベクトルなのですが・・・
１． ３点、A（２，５，１）、Ｂ（０，３，７）、Ｃ（６，０，４）があ り、点Ｄを選び、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形にしたいのですが、 Ｄの座標をどのように設定したらいいのでしょうか？ ２．次の三点が一直線上にあるように定数、ａ，ｂの値を定めよ。 （－３，２，－１）、（２，－５，３）、（ａ，ｂ，－５） ３．ａベクトル＝（－２，－１，３）、ｂベクトル＝（１，３，２） のとき、次の２式を同時に満たすベクトル、 ｘベクトル、ｙベクトルの成分を求めよ。 ３ｘ＋ｙ＝ａ，７ｘ＋３ｙ＝ｂ (ベクトル記号“→”は省略してます) ご回答の方、お願い致します。 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ ４．平面ａｘ＋２ｙ－ｚ＝６と次の方程式で あらわされる直線が平行となるように定数ａの値を定めよ。 ｘ＝１－ｔ，ｙ＝－１＋５ｔ，ｚ＝４＋７ｔ この問題については、自分、法線ベクトルを用いてやったら、できたのですが、なぜ、平行なのに、法線ベクトルを使うのでしょうか？ よくわかりません、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 4次元空間上での平面の式
任意の点を(x,y,z,u)とした4次元空間で (1)3次元の立体を表す式は ax+by+cz+du=e でいいですか? (2)2次元の平面を表す式は一般にどのような形になりますか? 上記のことに疑問を持った理由。 2次元空間で1次元の直線を表す式は、一般にax+by=cとなる。 これは、2点(x,y),(xo,yo)を通り、方向ベクトルが(a',b')で媒介変数tとして x=a't+xo y=b't+yo と書くこともできる。 3次元空間で2次元の平面を表す式は、一般にax+by+cz=d となる。 これは、 平面上の2点(x,y,z)と(xo,yo,zo)を結ぶベクトルとこの平面に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c)の内積が0であるという条件より導かれる。 実際に計算すると a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo になり、ax+by+cz=dという形と同値であることが確認できる。 【別な考え】 3次元空間内の平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を P(xo,yo,zo)、Q(x1,y1,z1)、R(x2,y2,z2) とする。この平面上の任意の点X(x,y,z)は、媒介変数t,sを使って OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑ と書ける。 成分表示にするために OP↑=(xo,yo,zo) PQ↑=(a,b,c) PR↑=(a',b'c') と方向ベクトルを定義すると、 x=xo+at+a's......(1) y=yo+bt+b's......(2) z=zo+ct+c's......(3) という書き方も平面を表す式である。 実際に(1)と(2)から未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式に代入すれば、(1)(2)(3)式は、一つの式 a"x+b"y+c"z=d'という形になる。 直線を表す式は、媒介変数tを使って x=at+xo y=bt+yo z=ct+zo または、 (x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=t となる。 4次元空間で同じように、 直線や平面や立体を考えてみた。 2次元では、(1,0)と(0,1)が直交の基底ベクトル。 3次元では、(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)が直交の基底ベクトル。 したがって、 4次元では、(1,0,0,0)と(0,1,0,0)と(0,0,1,0)と(0,0,0,1)が直交の基底ベクトル。 4次元空間では、点は4つの成分で表される。 4次元空間での直線について。 直線は2点が与えられば書ける。 2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を通り、その直線の方向ベクトルが(a,b,c,d)だとしたら、媒介変数tを使って、 x=at+xo y=bt+yo z=ct+zo u=dt+uo となって (x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=(u-uo)/d=t 次に4次元空間での３次元立体について。 ２次元空間では、それより一つ次数が低い1次元の直線は一つの式 ax+by=c で与えられた。 3次元空間では、それより一つ次数の低い２次元の平面は、一つ式 ax+by+cz=d で表さられた。 したがって、4次元空間では、それより一つ次数の低い3次元の立体は、 ax+by+cz+du=e で表されるだろう。 【別な考え】 4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する立体は一つしかない。なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで空間(立体)は3つの基底ベクトルで決定されて、残り一つが残っているからだ。 立体上の2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を結ぶベクトルとこの立体に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c,d)の内積が0であるという条件で計算すると a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)+d(u-uo)= 0 ax+by+cz+du=axo+byo+czo+duo になり、ax+by+cz+du=eという形になる。 2次元の平面はどうだろうか？ (ここからが本題) 4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する平面は、２つあるはずだ。 なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで平面は2つの基底ベクトルで決定されて、残り2つが残っていて、それはこの平面に直交するように選べるからだ。 平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を P(xo,yo,zo,uo)、Q(x1,y1,z1,u1)、R(x2,y2,z2,u2)、 とする。この平面上の任意の点X(x,y,z,u)は、媒介変数t,sを使って OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑ と書ける。 成分表示にするために OP↑=(xo,yo,zo,uo) PQ↑=(a,b,c,d) PR↑=(a',b',c',d') と方向ベクトルを定義すると、 x=xo+at+a's......(1) y=yo+bt+b's......(2) z=zo+ct+c's......(3) u=uo+dt+d's.....(4) という書き方も平面を表す式である。 (1)と(2)を連立して、未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式と(4)式代入すれば、(1)(2)(3)(4)式は、２つの式 a"x+b"y+c"z+d"u=e' a"'x+b"'y+c"'z+d"'u=e" になる。 この２つの式からuを消去すれば、結局、 Ax+By+Cz=D という形になる。 zを消去すれば、 Ax+By+Cu=D yを消去すれば、 Ax+Bu+Cz=D xを消去すれば、 Au+By+Cz=D
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面の式？（空間ベクトル）
ベクトルがどうしても理解できません！ まず、以下の線の式が理解できません x=1+2t y=2-t z=-1+3t なんで一つの線を表すのに三つも式があるんですか？今まで習ったのでは、ベクトルは１つの式で表されていました。x+y+z=0見たいな感じに。或いはそのベクトルの強さと方向が簡単に分かるように、(a,b,c)+λ(d,e,f)見たいな感じの式しか見たことがありません。そもそも上の式のtってなんですか？他にも分からないことがあるんですが、とりあえずはこれを理解していないと先に進めないので、その他の質問に関しては後からさせてもらってもいいでしょうか？よろしくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面の方程式について
3次元空間を考える。直線l,mの方程式を l:x-1=y+2/2=z-3/-2 m:x+1/-2=y-2/2=z+3 とする。 (1)直線l,mをベクトル方程式で表せ。 (2)直線lを含み、直線mに平行な平面πの方程式を求めよ。 (3)平面πと直線mの距離hを求めよ。 (1),(2)はできたんですが、(3)がわかりません。 点と平面の距離の公式を使えばいいんでしょうか・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- 平面ベクトルの方程式について
教科書の練習問題ですが、以下のような式のときはどのように平面の方程式を求めたらいいのか教えてください。 次の２直線を含む平面の方程式は？ x-1 y+2 z+3 --- = --- = --- 3 4 -5 x+1 y z-1 --- = --- = --- 3 4 -5 この二つの方程式の方向ベクトルは（3.4.-5）であるのですが、それと解法とはかんけいがあるのでしょうか？ とき方を教えてください。 答えは、13x - y + 7z=-6 となります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の空間ベクトルの問題です。判る方教えてください。
線形代数の空間ベクトルの問題です。判る方教えてください。 （問題） 点（-1, 4, 7 )を通り、次の方程式で表される直線に平行な直線の方程式を求めよ。 Ｘ ＝１＋２ｔ, Ｙ ＝ －１ ＋ ｔ, Ｚ ＝ ２ － ３ｔ 答えは （Ｘ＋１）／ ２ ＝ （Ｙ－４）／１ ＝ （Ｚ－７）／－３ となっていますが、どうやって導き出すのか分かりません。 どなたか分かり易く教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間ベクトルの問題です。
問題は次のようなものです。 空間内の直線 (x-1)/2 = y+2 = 1- z を含み 点（1、2、-1）を通る 平面の方程式を求めよ。 解答は x + 2y + 4z ＝ 1 ですが、どうやって計算するか分りません。 よく法線ベクトルと1点から平面の方程式を求めるようですが、この問題では どうしたらいいのでしょうか？ お分かりになる方がいましたら、お教えください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
分かりやすいご説明ありがとうございました！ 問題解決です！