三角錐を切ったら

質問

△ＡＢＣに対し、この平面上にない点ＰとＡＢＣを結び、三角錐Ｐ-ＡＢＣを作ります。この三角錐をＡＰ、ＰＢ、ＡＣの中点を通る平面で切ると、この平面はＢＣの中点も通りますが、どうやって証明することができますか。

回答No.4

kabenoka · ベストアンサー

＃１の方の回答と同じですが...

１．異なる３点を通る平面は１つに決まる
２．２本の平行線を含む平面は１つに決まる
ことをまず確認します。

ＰＡの中点をＬ、ＰＢの中点をＭ、ＡＣの中点をＱ、ＢＣの中点をＲとします。

三角形ＰＡＢに注目すると、ＡＢとＬＭは平行であることがわかります。
三角形ＣＡＢに注目すると、ＡＢとＱＲは平行であることがわかります。
だから、ＬＭとＱＲは平行です。このＬＭとＱＲを含む平面は１つに決まります。
この平面をｘとします。

次に、問題にあるＬ、Ｍ、Ｑを通る平面は１つに決まります。
この平面をｙとします。
平面ｙ上の点であるＬ、Ｍ、Ｑは平面ｘの上にもあるので、平面ｘと平面ｙは同一のものです。
だからＲも平面ｙ上にあると言えます。

お礼

ありがどうございます。

回答No.3

pikushy

#1さんと＃２さんの回答の合わせ技が分かりやすいかと思います。
つまり、Ｐを原点として、ＰＡ⇒ａ、ＰＢ⇒ｂ、ＰＣ⇒ｃとします。そして、ＰＡ、ＰＢ、ＢＣ、ＡＣの中点を順にL、Ｍ、Ｎ、０とするとℓ⇒1／2ａ、ｍ⇒1／2ｂ、ｎ⇒１／2（ｂ＋ｃ）、０⇒1／2（ａ＋ｃ）となります。ここで証明したいのＬＯ//ＭＮ、ＬＭ//ＯＮです。これは包丁で豆腐を切るのを想像してみれば、包丁の面に沿って切れていることから分かると思います。

ＬＯ//ＭＮを証明するためにはＬＯ＝ｓＭＮが言えればいいわけです。
Ｌ０＝ＰＯ－ＰＬ＝1／2（ａ＋ｃ）－1／2ａ＝1／2ｃ
ＭＮ＝ＰＮ－ＰＭ＝１／2（ｂ＋ｃ）－1／2ｂ＝1／2ｃ
この場合はｓ＝１であるので、向きと長さが同じ、すなわち、平行四辺形であるということが分かります。
（ここまでで証明ができるとも思います）

同様にＬＭ//ＯＮもやってみると、
ＬＭ＝ＯＮ＝1／2ｂ－1／2ａがいえるので…っていう感じです。

またはＬＮ＝ｓＬＭ＋ｔＬＯを証明し、点L、Ｍ、Ｎ、Ｏは同一平面状にあるということを説明すれば良いんじゃないんでしょうか。こちらの方が高校数学っぽいかもしれません。

お礼

ありがどうございます。

回答No.2

onakyuu

もしベクトルについてご存知なら、位置ベクトルを
使うと簡単に証明できます。
Pを原点としてA,B,Cの位置ベクトルをそれぞれa,b,c
としておきます（ベクトル記号は省略）。
そうすると以下のようになります。
PAの中点の位置ベクトルは a/2
PBの中点の位置ベクトルは b/2
ACの中点の位置ベクトルは a/2+c/2

この３つの点を通る平面上の点の位置ベクトルは、
変数x,yを用いて以下のようになります。
x a/2 + y b/2 + (1-x-y) (a/2+c/2)

一方、BCの中点の位置ベクトルは b/2+c/2 ですが、
平面の式で x=0, y=1/2 としてやると一致します。
したがって証明ができました。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

BLUEPIXY

Ａ－Ｂと
ＰＢの中点－ＰＢの中点
そして、
ＢＣの中点－ＡＣの中点
各線分が平行であることを言えばいいと思います。

お礼

ありがとうございます。