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三角錐を切ったら
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#1の方の回答と同じですが... 1.異なる3点を通る平面は1つに決まる 2.2本の平行線を含む平面は1つに決まる ことをまず確認します。 PAの中点をL、PBの中点をM、ACの中点をQ、BCの中点をRとします。 三角形PABに注目すると、ABとLMは平行であることがわかります。 三角形CABに注目すると、ABとQRは平行であることがわかります。 だから、LMとQRは平行です。このLMとQRを含む平面は1つに決まります。 この平面をxとします。 次に、問題にあるL、M、Qを通る平面は1つに決まります。 この平面をyとします。 平面y上の点であるL、M、Qは平面xの上にもあるので、平面xと平面yは同一のものです。 だからRも平面y上にあると言えます。
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- pikushy
- ベストアンサー率25% (3/12)
#1さんと#2さんの回答の合わせ技が分かりやすいかと思います。 つまり、Pを原点として、PA⇒a、PB⇒b、PC⇒cとします。そして、PA、PB、BC、ACの中点を順にL、M、N、0とするとℓ⇒1/2a、m⇒1/2b、n⇒1/2(b+c)、0⇒1/2(a+c)となります。ここで証明したいのLO//MN、LM//ONです。これは包丁で豆腐を切るのを想像してみれば、包丁の面に沿って切れていることから分かると思います。 LO//MNを証明するためにはLO=sMNが言えればいいわけです。 L0=PO-PL=1/2(a+c)-1/2a=1/2c MN=PN-PM=1/2(b+c)-1/2b=1/2c この場合はs=1であるので、向きと長さが同じ、すなわち、平行四辺形であるということが分かります。 (ここまでで証明ができるとも思います) 同様にLM//ONもやってみると、 LM=ON=1/2b-1/2aがいえるので…っていう感じです。 またはLN=sLM+tLOを証明し、点L、M、N、Oは同一平面状にあるということを説明すれば良いんじゃないんでしょうか。こちらの方が高校数学っぽいかもしれません。
お礼
ありがどうございます。
- onakyuu
- ベストアンサー率45% (36/80)
もしベクトルについてご存知なら、位置ベクトルを 使うと簡単に証明できます。 Pを原点としてA,B,Cの位置ベクトルをそれぞれa,b,c としておきます(ベクトル記号は省略)。 そうすると以下のようになります。 PAの中点の位置ベクトルは a/2 PBの中点の位置ベクトルは b/2 ACの中点の位置ベクトルは a/2+c/2 この3つの点を通る平面上の点の位置ベクトルは、 変数x,yを用いて以下のようになります。 x a/2 + y b/2 + (1-x-y) (a/2+c/2) 一方、BCの中点の位置ベクトルは b/2+c/2 ですが、 平面の式で x=0, y=1/2 としてやると一致します。 したがって証明ができました。
お礼
ありがとうございます。
- BLUEPIXY
- ベストアンサー率50% (3003/5914)
A-Bと PBの中点-PBの中点 そして、 BCの中点-ACの中点 各線分が平行であることを言えばいいと思います。
お礼
ありがとうございます。
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