過渡現象

質問

R-C回路の過渡現象についてなんですが、式をどのようにして作成しどのように解くのかがいまいち不明です。
回路は電源にR1が直列につながり、その後R2とCが並列につながっているという回路です。

この状態で電流を流したときのR1にかかる電流をi(t)として微分方程式で解けという問題なのですが、式を作ることが出来ません・・・

CがRだったとしたら何も迷うことはないのですが、コンデンサ・微分方程式と厄介なものが出てきたため混乱しています・・・

分かる方がいましたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.8

Teleskope · ベストアンサー

たびたび失礼、
朝よくチェックせずに上げたので R1 が抜けてました。

　　I(1+R1/R2)+IR1/R3 = E/R2+E/R3　…(1)

　　　I(1+R1/R2)+CR1dI/dt = E/R2+CdE/dt

回答No.7

Teleskope

>>　I=E(R2+R3)/R2R3+R1(R2+R3) <<

　おお！よく寝た頭で見直したらカッコが抜けてるだけで合ってますね、どうも失礼しました！
　　I = E(R2+R3)/(R2R3+R1(R2+R3))
あとで使いやすいように 大きな分数をほぐしておきます。
　　I・（R1＋1/(1/R2＋1/R3)） = E
　　I(1+R1/R2)+I/R3 = E/R2+E/R3　…(1)

で、コンデンサの電圧と電流の関係は習ってると思います。
　　　I = C・dE/dt　　ですね、これから E をくくり出します。
　　　　= (C・d/dt)E
抵抗は
　　　I = E/R = (1/R)E だから、1/Rに相当するのは C・d/dt です。

つまり、1/R3 を Cd/dt と書き変えればいいだけなのです。

　　　I(1+R1/R2)+I/R3 = E/R2+E/R3　…(1)
　↓
　　　I(1+R1/R2)+CdI/dt = E/R2+CdE/dt

　できちゃいました。
入力電圧はステップ波形だと思うのでdE/dt=0ですね。
このあと 微分方程式らしく体裁をととのえるのは自分でやってください。

（これは No1が言及してる機械的な方法、演算子法です。）

回答No.6

Teleskope

（No4のお詫びに過去ログから引っぱり出しました。）

　コンデンサ や インダクタが一個だけの回路の微方は、

　　dy/dt＋Ay = B　　…(1)

の形になります。AやBは部品定数。

１．
B=0の場合。
　　dy/dt＋Ay = 0　　…(2)
Ayを移行して変数分離
　　dy/y = -Adt
積分して
　　loge(y) = -∫Adt＋c
対数を指数に
　　y = exp(-∫Adt＋c)
これが一般解ですね。数学の教科書そのままです。

ふつうの電気回路はAやBは部品の定数なので積分は単純で
　　y = exp(-At＋c)　　となります。
積分定数cを分けてしまうと
　　y = exp(c)exp(-At) = Fexp(-At)　
積分定数Ｆは 任意の値が (2)式を満たします。

２．
B≠0の場合は、
上記の解 y = Fexp(-At)　の Fを関数にするだけで解になるのです。（このアイデアの発見者はラグランジュです。Ｆは何でもいいのなら関数なら？という発想だったそうです。）
　　y = F(t)exp(-At)　　Fを関数にしました。
　　　= FE　と略記します。
これを(1)式に入れます。
微分の公式 (fg)’=f’g＋fg’ を思い出して、
　　EdF/dt＋FdE/dt＋AFE = B　　をＦでくくると
　　EdF/dt＋F（dE/dt＋AE） = B
カッコの中は(2)式そのものゆえゼロです！
結果、
　　EdF/dt = B
と 超簡単になってしまいました、Eで割って積分すると
　　F =∫(B/E)dt＋K
Ｆの一般解が求まりました。

ふつうの電気回路はAやBは定数なので、
　　F = B∫(1/E)dt＋K
　　　 = B∫exp(At)dt＋K　　ついでにEを元に戻して積分すると
　　　 = (B/A)exp(At)＋K　　です。

よってｙは、
　　y = FE = B/A＋Kexp(-At)
積分定数Kは 初期条件で決まります。

（１）ふつう、回路の電圧は t=0のとき全てゼロ なので、
　　0 = B/A＋Kexp(0)　となって、
　　K=-B/A　です。
最終的に、
　　y = (B/A){1-exp(-At)}　　です。

（２）一方、回路の電流は、課題の回路の例ではt=0でコンデンサ電圧=0なら R1には全電圧がかかり、I(0)=E/R1です。一般に電流の式の場合はどうなるか、そこは自分で。（最後まで全部書くと削除されるんです。その経験豊富。ｗ）

　以上、微方を間違いなく書けさえすれば、その係数から直ちに解の式が書ける という話でした。

（たぶん、単純な回路の解き方はもっと簡便な方法を習うと思います。君はキルヒホフを直ぐ答えたので多分教養物理でなく理工系だと思ったので、過去ログから紹介します。より高階な微方にも一貫して通用する考え方です。）

回答No.5

keyguy

オームの法則と電流の定義だけで十分です
策におぼれないようにしましょう
電源電圧をEとするとR1を流れる電流はi(t)だから
コンデンサ両端にかかる電圧はE-i(t)・R1です
R2にも同じ電圧がかかっているからR2を流れる電流は
(E-i(t)・R1)/R2です
Qちゃんは渋いから
コンデンサの電荷をq(t)とすると
q(t)=C・(E-i(t)・R1)
これを微分すればコンデンサに流れる電流になるから
Eが定数だとすると
i(t)=(E-i(t)・R1)/R2+(C・(-i'(t)・R1))
となります
(1項目がR1を流れる電流で2項目がコンデンサを流れる電流)
'は時間微分です
一次微分方程式ができました
ちょっとサービスし過ぎかも

回答No.4

Teleskope

網目電流法(でしたっけ?)でなく枝電流法でできませんか？
それから、答が？ですよ
（「閉ループ一巡して電圧の合計がゼロ」を使ってますが、これは確かキルヒホフのナントカですね。）

回答No.3

Teleskope

>>　CがRだったとしたら何も迷うことはないのですが <<

　では、下図の方程式を書いてください。キルヒホフの何を使ったかをも。（E2は使わなくていいです。）
そして、解く過程を１行ずつ書いて、最後にI=で〆、までを補足の欄に。

　　　Ｉ　→
　　　┌─R1──┬──┬── E2
　　　│　　　　　　｜　　　｜
　　　Ｅ　　　　　　 R2　　　R3
　　　│　　　　　　｜　　　｜
　　　GND　　　　GND　　GND

補足

そもそもこの状態ではキルヒホッフは使わないと思いますが・・・

E-R1-R2の閉回路(電流I1)とR2-R3の閉回路(電流I2)で↓
E=R1I1+R2I1-R2I2
0=R2I2+R3I2-R2I1
となり。

最終的にI1がIと同意となるので
I=E(R2+R3)/R2R3+R1(R2+R3)
のような感じでしょうか？
もちろんもっと細かく計算できますが、これぐらいでどうでしょうか？

回答No.2

sanori

電源電圧をＶ０、
Ｒ１からＲ２とＣの二股に分かれる節点の電圧をＶ１、
Ｒ１に流れる電流をｉ、
Ｒ２に流れる電流をｉｒ、
Ｃに流れる電流をｉｃ、
Ｃに蓄えられる電荷をＣ
と置きます。

そうすると、
Ｖ０＝Ｒ１・ｉ＋Ｖ１　（１）電圧の式（キルヒホッフの第２法則）
Ｑ＝Ｃ・Ｖ１　　　　　（２）容量の式
Ｖ１＝Ｒ２・ｉｒ　　　（３）オームの法則
ｉ＝ｉｃ＋ｉｒ　　　　（４）キルヒホッフの第一法則
ｉｃ＝ｄＱ／ｄｔ　　　（５）コンデンサに流れる電流

あとは、これらの連立方程式から、不要な文字を除去していけばよいです。

（３）（４）（５）より
ｉ＝ｄＱ／ｄｔ＋Ｖ１／Ｒ２　　（６）

（６）（２）より
ｉ＝Ｃ・ｄＶ１／ｄｔ＋Ｖ１／Ｒ２　　（７）

（７）（１）より
ｉ＝－Ｃ・Ｒ１・ｄｉ／ｄｔ＋（Ｖ０－Ｒ１・ｉ）／Ｒ２

ｉについて整理して
Ｃ・Ｒ１・ｄｉ／ｄｔ＋ｉ（１＋Ｒ１／Ｒ２）－Ｖ０／Ｒ２＝０

以上ですが、
小生、計算に自信がないので、検算してください。

回答No.1

Rossana

R2とCの両端にかかる電圧v(t)，電源電圧E(t)とする．
R2に流れる電流：v(t)/R2
Cに流れる電流：Cdv(t)/dt
KCLより
i(t)=v(t)/R2＋Cdv(t)/dt
KVLより
E(t)=R1i(t)＋v(t)
これらからv(t)を消去してi(t)についての微分方程式を作成する．
Laplace変換を知っていればもっと機械的に解けますが．