γ行列の性質について質問です。

質問

(γ^0)^†=γ^0
(γ^j)^†=-γ^j (j=1, 2, 3)
であることを示してください。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

あなたの質問は、量子場の理論におけるγ行列（ディラック行列）のエルミート共役についてですね。この質問にお答えしましょう。

ディラック方程式の共変形式を記述するために用いられるγ行列は、次の反交換関係を満たします。

$$
\{\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\} = \gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu} = 2g^{\mu\nu}I
$$

ここで、\(g^{\mu\nu}\) はメトリックテンソルで、\(I\) は単位行列です。メトリックテンソルは \(g^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)\) として取ります。これは、時間成分 \(g^{00} = 1\) と空間成分 \(g^{jj} = -1\ (j=1,2,3)\) を意味します。

γ行列のエルミート共役関係は、ディラック方程式のエルミート性とスピノル場の物理的な確率解釈と密接に関わっています。このエルミート共役関係を証明するには、特にγ行列の性質と定義に依存します。

γ^0行列が時間成分で、通常エルミート（自己共役）行列として定義されるため、\((\gamma^0)^\dagger = \gamma^0\) が成り立ちます。ここで \(\dagger\) はエルミート共役（複素共役かつ転置）を意味します。

一方、空間成分γ^j（j=1,2,3）行列は反エルミートであると定義されます。つまり、そのエルミート共役は元の行列の負に等しくなります：\((\gamma^j)^\dagger = -\gamma^j\)。

従って、ディラック方程式を物理的に意味のあるものにするためには、この性質が要求されます。これは、γ行列が生成するクリフォード代数の表現の1つにすぎず、他にも無数の同じ代数を満たす表現があることを覚えておくことが重要です。

このエルミート共役関係は、場の量子論の確立において基本的な役割を果たします。物理学における別の微妙な議論や計算に入る前に、あなたが理論と計算に慣れていることを確認すると良いでしょう。もしもより詳細な証明や説明が必要な場合は、専門の物理学の教科書や論文で確認することをお勧めします。

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