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質問

下の問題の(2)で授業では(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0を証明すれば証明できると習ったのですがなぜ二乗するのですか？二乗しなくても全て1だったら0になりませんか？

回答No.4

gamma1854

実数 a, b, c について、
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0 ⇔ (a, b, c)=(1, 1, 1). ですが、
(a, b, c)=(1, 1, 1) は、(a-1)+(b-1)+(c-1)=0 であるための「十分条件」であるからです。

お礼

ありがとうございます

回答No.3

asuncion

＞a、b、c全て1として考えている

ちゃうちゃう。それを証明せなアカンねん。
証明すべき事柄を前提として使たらアカンで。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

kiha181-tubasa

＞全て1だったら0になりませんか

　確かに，a,b,c全て１だったら２乗しない式でも
(a-1)+(b-1)+(c-1)=0　……①
になりますよ。
でもこの証明問題の仕事は，「与えられた条件式から，a,b,c全てが１でなければならないということを導く」ことなのです。
そのために
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0
を導いているのです。
（２乗がないと，№１の回答者のとおり，全てが１とは限らなくても①は成り立ってしまいますね）

証明すべきは，
「a,b,c全て１のときにa+b+c=ab+bc+caが成り立つ」
ことではなくて
「a+b+c=ab+bc+caのときにa,b,c全て１である」
ことなのです。

【おまけ】この証明の基本にあるのは，まず２文字で
a^2+b^2=0　⇔　a=b=0
です。
この基本事項の証明は以下のとおり
a^2+b^2=0よりa^2=-b^2
しかし，a^2≧0，-b^2≦0だから，両者が等しいのは
a^2=0,-b^2=0
∴a=0,b=0
逆にa=0,b=0のときは明らかにa^2+b^2=0が成り立つ

３文字なら
a^2+b^2+c^2=0　⇔　a=b=c=0
ですがこれも
a^2=0,-(b^2+c^2)=0
から同じように証明できますね。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

are_2023

二乗しないと
(2-1)+(1-1)+(0-1)=0
(8-1)+(-4-1)+(-1-1)=0
の様に多くの解があります

お礼

ありがとうございます

補足

a、b、c全て1として考えているので(1-1)+(1-1)+(1-1)=0とならないのですか？