解析学について

質問

f(x)は[0,∞)上で微分可能.
ある[0,∞)上で定義された関数g(x),h(x)が存在して、
f(x)=g(x)h(x) が任意のx∈[0,∞)で成り立つと仮定する.
この時命題「g(x)h(x)は[0,∞)上で微分可能である」は真か偽か。

という問題なのですが、偽だと考えているのですがなかなか反例が見つかりません。
反例を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

f272

例えば
[0,1)でg(x)=0，[1,∞)でg(x)=1
[0,1)でh(x)=1，[1,∞)でh(x)=0
とすれば
[0,1)でg(x)h(x)=0，[1,∞)でg(x)h(x)=0
つまり
[0,∞)でf(x)=0
ですので微分可能ですが，個々のg(x)，h(x)はどちらも微分可能ではありません。
g(x)

回答No.1

f272

f(x)=g(x)h(x)ですので
g(x)h(x)は[0,∞)上で微分可能である
を言い換えると
f(x)は[0,∞)上で微分可能である
になりますが，それは最初に仮定していたことですので当然に成り立ちます。

補足

上記の命題でしたから真でした。失礼致しました。
打ち間違いで、正しくは
命題「g(x),h(x)は[0,∞)上で微分可能である」
でした。
これはいかがでしょうか？