解決済み

解析(連続)の問についておねがいします。

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fは区間[0、π]で微分可能。0では右微分係数f‘₊(0)、πだは左微分係数f‘₋(π)が存在する。また、f(0)=f(π)=0を満たしている。
 x∊(0、π)に対して、g(x)=f(x)/sinx、また、h(x)=g‘(x)sinxとする。

 問1
 g(0)=limg(x) (※x↓0)、g(π)=limg‘(π-x) (※x↓0)
を求めよ。また、gが[0、π]で連続となることを示せ。
 問2
 問1の答えを用いて、h(0)=limh(x) (※x↓0)、h(π)=limh(π-x) (※x↓0)を計算し、hも[0、π]で連続となることを確かめろ。

 よろしくお願いいたします。 

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

問1
g が (0,π) で連続であることは、ほぼ自明。
f が微分可能より連続であることと、
sin が連続かつ(0 ではない)ことから、
連続の定義に沿ってゴタゴタ論じてもよい。
g は、もともと 0,π では定義されていないが、問1にあるように lim を使って追加するのなら、
その二つの lim が収束しさえすれば
[0,π] で連続と言える。
あとは、ロピタルの定理でも使って lim を求めればよい。

問2
上記と同様の理由で、lim[x→+0]h(x) と
lim[x→π-0]h(x) が収束することを言えば終わる。
(0,π) で h(x)=f'(x)+g(x)(cos x) であることから、
二つの lim を計算してしまえばよい。
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