「連続である」という条件の使い方

質問

f(x)：0≦x≦1で連続な関数であるとき
∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx　(積分区間はともに０からπ)

という問題で、一応解けたのですが、
0≦x≦1で連続
という条件がどこで使われるのかがわかりません。
教えていただけませんか？

回答No.3

kabaokaba

積分と「不連続」ってのはそんなには関係しません．
「連続関数ならば積分可能」
なのであって，積分可能な不連続な関数だって存在します．
一番単純なタイプは閉区間上で有界かつ不連続な点が有限個の関数だけど
不連続な点が無限個あっても積分可能な関数は存在します
（もちろんリーマン積分の意味で）．

置換積分は置換する方が微分可能で導関数が積分可能ならOK
部分積分は積に分解したときの各因子の一方が積分可能，
他方が微分可能くらいの条件が必要です．

>0≦x≦1で連続
>という条件がどこで使われるのかがわかりません。
これは暗黙のうちに使われています．
0≦sin(x)≦1なので
f(sin(x))は連続となりよって積分可能です．
連続と仮定しておけば
「積分可能かどうか」という現実的な問題に対しては
あまり本質ではない部分の議論を回避できるというわけです．
使う条件をぎりぎりまでチューンアップすることはせずに
「とりあえず楽に処理できるよう」に甘めの設定をすることは
よくあります．

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが、所々誤解を招きそうな表現があったので追記です。

私も不連続関数の積分に関しては詳しく知りません。
不連続関数に対しても部分積分、置換積分が使えるかどうか知りません
(不連続関数では部分積分、置換積分が使えないかもしれません)。
f(x)が不連続関数でも、∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx　(積分区間はともに０からπ)が成り立つかどうかに関しても知りません。

回答No.1

R_Earl

強いて言うなら、質問者さんが積分の計算をする時に毎回使っています。

今まで当たり前のように部分積分法や置換積分法を使っていましたが、
それらの公式は不連続関数にも適用できるものですか？
また、それを証明することはできますか？

今まで質問者さんが習ってきた積分法の公式は
『積分される関数が、積分区間内で連続なら使える』
という前提条件が付いています。
つまり今まで習った公式が、不連続関数に適用できる保証はありません。

問題作成者の側としては、授業で教えていない不連続関数の積分をやらせるつもりがないので、
『f(x)：0≦x≦1で連続な関数であるとき』という条件をつけただけだと思います。
この条件をつけておけば、f(sinx)も連続関数なので、
今まで教えてきた各種公式が何の文句もなく使えることになります。