微分する

質問

すいません、ミクロ経済学の初歩の初歩について、誰か教えてくれませんか？

①　限界効用とは、点のことですか？
つまり、「効用曲線」の「傾き」を、ある特定量xで微分した特定点における傾きを、限界効用と呼ぶ。という理解で合ってますか？

②「効用関数」と「効用曲線」とはどんな関係にあるのでしょうか？効用関数ｆ（x）のXに、具体的な数字を代入した結果が、効用曲線になる、という理解で合ってますか？
そして、もしそういう理解であっているのだとした場合、「逓減の法則」にしたがった曲線になると思うんですが、代入する具体的な数字に、逓減の法則はどのように反映させればよいのでしょうか？
y＝f（x）だと、ただの直線になると思うんですが。

③　そもそも、「xで」「微分する」という言い方が、全くしっくり来なくてモヤモヤします。上のように、「とある特定量xの時点での傾きを求める」という言い方で理解しても良いでしょうか？
また、「yで微分する」という場合もあるのでしょうか？

回答No.2

statecollege

高校の数学(数3）で習う微分という概念は勉強した？どういう概念か知らないのであれば、むしろ「数学のカテ」で質問してください。経済学の　「限界」概念は「微分」概念の数学への応用です。
いま、Ｘ財とＹ財の2財の世界（経済）を考え、ある消費者（家計）のそれらの消費量をｘ、ｙであらわし、その消費者のそれらの消費から得る効用を
U=u(x,y)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
と書くと、Uを効用水準、u(・,・）を効用関数といいます。高校で微分を習ったとしても、1変数の関数の微分で、経済学でしばしばあらわれる2変数（あるいは多変数）の微分は習ったことはないのではないのでしょうか？上の(*)であらわされた2変数関数のときは、ｘで微分する、ｙで微分するという問題があらわれます。変数ｙをある一定の値にとどめてｘについて微分するとことをｘについて偏微分する（あるいは単にｘについて）微分するといい、
∂U/∂x　
あるいは
∂u/∂x
のような記号を用います（後者を用いましょう。）∂u/∂x自体、両変数xとyの関数なので原則的にはさらに微分できます。∂u/∂xを経済学では限界効用関数といいます。
効用関数U=u(x,y)をｙをある一定値に設定すると、効用関数はｘだけの関数となりますが、Ｘ財の消費量ｘの値を横軸に、Ｕを縦軸にとって描いたグラフを効用曲線と呼び、限界効用曲線はｙを上と同じ値にとどめて、ｘだけの関数としたとき、ｘの値を横軸に、∂u/∂xの値を縦軸にとって描いたグラフがｘの限界効用曲線になります。
例をあげましょう。いま、効用関数が
Ｕ＝√xy＝ｘ^1/2・y^1/2
で与えられたとしましょう。いま、y=4に与えられたとしましょう。このときの効用関数は
U＝u(x,4)=2√x
となり、限界効用関数をMU(x,4)と書くとこれをｘで微分して
MU(x,4)＝２・(1/2)x^(-1/2)=1/√x
となる。限界効用逓減とは限界効用MU(x/4)はXの消費量ｘが大きくなると、小さくなる、つまり限界効用関数MU(x,4)がｘの減少関数であることをいう。
関数と関数の値の違いはわかりますよね。関数とは、上の(*)で示されるように右辺の(x,y)の組を与えると、Uが決定されるルールのこと、具体例はU＝√xyのように、(x,y)=(4,4)と与えるとU=4、(x,y)=(9,4)と与えると、U＝6というように(x,y)にたいしてUの値を一意に決定するルールのこと。いま見たように関数の値は(x,y)の値与えたときのUの値をいう。