限界代替率

質問

連投で申し訳ないのですが、
この問題も考えてみたけど、これでよいのか分かりません。

Ａ氏の効用関数がＵ(Ｘ，Ｙ)＝(Ｘ＋２)(Ｙ＋６)であり、Ｘをクッキーの消費量、Ｙをミルクの消費量とする。ＸとＹの選択が(４、６)であったときの、Ａ氏の無差別曲線の傾きはいくらか？(クッキーを横軸、ミルクを縦軸にとって考えなさい)

この効用関数は一般的な、原点に対して凸になるものだと考えてよいのでしょうか？

限界代替率が
Ｙ＋６/Ｘ＋２だから、従って傾きは、これにマイナスをかけたものでまり、(４、６)を代入して、－２ということでしょうか？

分かる方いらっしゃれば、教えていただけると助かります。
よろしくおねがいいたします。

回答No.1

noname#45467 · ベストアンサー

>この効用関数は一般的な、原点に対して凸になるものだと考えてよいのでしょうか？

効用水準をkとすると，k=(X+2)(Y+6)と書けます．
これをYについて解けば，Y=k/(X+2)-6となります．
YをXについて2階微分すると，Y"=(2k+24)/(X+2)^3となり，
X>-2のときにY">0であるので，Y=k/(X+2)-6が凸関数であるということがわかります．
グラフを描くと双曲線であることからも，原点に対して凸になっていることがわかります．

>ＸとＹの選択が(４、６)であったときの、Ａ氏の無差別曲線の傾きはいくらか？

U(X,Y)=(X+2)(Y+6)を全微分すると，dU=(Y+6)dX+(X+2)dYとなります．
よって，dY/dX=-(Y+6)/(X+2)と変形できます．
dY/dXは接線の傾きを表しますので，(X,Y)=(4,6)を代入すれば，dY/dX=-2と求まります．

お礼

＞bdprさん
なるほど、参考になります。
助かりました。ありがとうございます。