限界代替率についての疑問
- Ａ氏の効用関数がＵ(Ｘ，Ｙ)＝(Ｘ＋２)(Ｙ＋６)であり、Ｘをクッキーの消費量、Ｙをミルクの消費量とする。
- Ａ氏の無差別曲線の傾きは、(４、６)であるとき－２である。
- 効用関数は一般的な凸の形をしており、限界代替率はＹ＋６/Ｘ＋２で計算される。
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限界代替率
連投で申し訳ないのですが、 この問題も考えてみたけど、これでよいのか分かりません。 Ａ氏の効用関数がＵ(Ｘ，Ｙ)＝(Ｘ＋２)(Ｙ＋６)であり、Ｘをクッキーの消費量、Ｙをミルクの消費量とする。ＸとＹの選択が(４、６)であったときの、Ａ氏の無差別曲線の傾きはいくらか？(クッキーを横軸、ミルクを縦軸にとって考えなさい) この効用関数は一般的な、原点に対して凸になるものだと考えてよいのでしょうか？ 限界代替率が Ｙ＋６/Ｘ＋２だから、従って傾きは、これにマイナスをかけたものでまり、(４、６)を代入して、－２ということでしょうか？ 分かる方いらっしゃれば、教えていただけると助かります。 よろしくおねがいいたします。
- doraemoon
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>この効用関数は一般的な、原点に対して凸になるものだと考えてよいのでしょうか？ 効用水準をkとすると，k=(X+2)(Y+6)と書けます． これをYについて解けば，Y=k/(X+2)-6となります． YをXについて2階微分すると，Y"=(2k+24)/(X+2)^3となり， X>-2のときにY">0であるので，Y=k/(X+2)-6が凸関数であるということがわかります． グラフを描くと双曲線であることからも，原点に対して凸になっていることがわかります． >ＸとＹの選択が(４、６)であったときの、Ａ氏の無差別曲線の傾きはいくらか？ U(X,Y)=(X+2)(Y+6)を全微分すると，dU=(Y+6)dX+(X+2)dYとなります． よって，dY/dX=-(Y+6)/(X+2)と変形できます． dY/dXは接線の傾きを表しますので，(X,Y)=(4,6)を代入すれば，dY/dX=-2と求まります．
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お礼
＞bdprさん なるほど、参考になります。 助かりました。ありがとうございます。