２変数関数と限界代替率

質問

以下の２変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする）
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする）

ヒント：
(1)は準線形の効用関数と考えて、「限界代替率」を求めよ。
(2)は１回まず偏微分、限界効用関数が出たら、限界代替率（コブダグロス型効用関数）を求めよ。
＜「限界代替率」は、片一方の数に偏らない。＞

上記の通りヒントをもらっているのですが
(1)に関しては全くわからず
(2)に関しては、途中までしてみました。

(2)あっているでしょうか？
(∂f)/(∂x1)=a(x1)^(a-1)(x2)^b
(∂f)/(∂x2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)
(∂^2f)/(∂x1^2)=a(x1)^(a-1)(x2)^b=a(a-1)^(a-2)(x2)^b
(∂^2f)/(∂x2^2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)=b(b-1)^a(x2)^(b-2)
(∂^2f)/(∂x2∂x1)=？←全くわかりません。
(∂^2f)/(∂x1∂x2)=ab(x1)^(a-1)(x2)^(b-1)

わかる方、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

>もう少し詳しく......
順番にいってみます。

(A) 二階偏微分における順番のルール例について。
>　fxy = (∂^2f/∂y∂x) = (∂/∂y)(∂f/∂x)
fxy … f をまず x で偏微分したあと、結果をさらに y で偏微分する。∂^2f/∂y∂x と表記します。
(∂/∂y)(∂f/∂x) … まず x で偏微分(∂f/∂x)、それを y で偏微分(∂/∂y)、ということ。

「x で偏微分する」というのは、y を定数とみなして x だけで微分する、ということです。

(B) f(x1,x2)={(x1)^2+1}/(x1x2) の例について。
{(x1)^2+1}/(x1x2) = (x1/x2)+(1/x1x2) と変形しておくと、あとが楽になるようです。

(∂/∂x1){(x1/x2)+(1/x1x2)} = (1/x2)-(1/x1^2x2)

(∂^2f)/(∂x1)^2 = (∂/∂x1)(∂f/∂x1) = (∂/∂x1){(1/x2)-(1/x1^2x2)} = 2/(x1^3x2)
前の結果をもう一度 x1 で偏微分してます。
微分公式：d(x^n)/dx = n*x^(n-1) を利用。
(1/x) = x(-1) だから、d{x^(-1)}/dx = -1*x^(-2) 、というわけ。
これをまた x で微分すれば、+2*x^(-3) ですね。

この調子でほかの問題も試行し、答あわせしてみてください。

お礼

ありがとうございます。
あともう一問だけ見てもらって良いでしょうか？
こちらは経済学には触れていなかったので、後でまた別に質問に出そうとしていた同じ問いです。

＜問＞
f(x1,x2)=(x1)^3+{3(x1)^2(x2)}-2(x2)^2+4(x1)+2(x2)+5 ((x1,x2)∈Ｒ^2)
※記号の書き方が間違っているかもしれません。

＜下記の通りで合っているでしょうか？＞
(∂f)/(∂x1)=3(x1)^2+6(x1x2)+4
(∂f)/(∂x2)=3(x1)^2-4(x2)+2
(∂^2f)/(∂x1^2)=3(x1)^2+6(x1x2)+4=6(x1)+6(x2)
(∂^2f)/(∂x2^2)=3(x1)^2-4(x2)+2=-4
(∂^2f)/(∂x2∂x1)=3(x1)^2+6(x1x2)+4=6(x1)
(∂^2f)/(∂x1∂x2)=3(x1)^2-4(x2)+2=6(x1)

良かったらあとこの１問について添削して頂けないでしょうか？
もしきちんと新たに掲示板に質問を出したほうが良いのであれば、質問に出しますので。

回答No.5

noname#101087

>カテゴリの「経済学」のほうで、もう一度今度は「効用関数」「限界代替率」を求めるだけの質問させて頂いて良いでしょうか？マルチポストにも該当しそうな気もしますが…

「効用関数」「限界代替率」についてはまったく触れませんでしたから、OK でしょう。(当方が決めることではありませんが)
Good luck !

お礼

>Good luck !
ありがとうございます！

また後になって、疑問が出たり質問したくなりそうで、心配で締め切りたくはないのですが
他のカテゴリに出したり、いつまでもという事もいかないので、締め切ります。
長い時間、何度も答えて頂きまして、ありがとうございました。

回答No.4

noname#101087

>＜下記の通りで合っているでしょうか？＞

(∂f)/(∂x1)=3(x1)^2+6(x1x2)+4　　　… OK
(∂f)/(∂x2)=3(x1)^2-4(x2)+2　　　… OK
(∂^2f)/(∂x1^2)=3(x1)^2+6(x1x2)+4=6(x1)+6(x2)　　　… OK
(∂^2f)/(∂x2^2)=3(x1)^2-4(x2)+2=-4　　　… OK
(∂^2f)/(∂x2∂x1)=3(x1)^2+6(x1x2)+4=6(x1)　　　… OK
(∂^2f)/(∂x1∂x2)=3(x1)^2-4(x2)+2=6(x1)　　　… OK

すべてご名算でした。

お礼

ありがとうございました！
おかげで大分、数学が（私にしては）上達してきたと思います。
本当に助かりました。

それから
>ミクロに限らず、「経済学」は門外漢なので偏微分についてのみ。
助けて頂いて偏微分はできましたが、今度は効用関数や限界代替率を求めたいので（恐らく完全な回答はもらえない気はするのですが…）、
こちらを〆た後に、この質問を偏微分を出したうえで、カテゴリの「経済学」のほうで、もう一度今度は「効用関数」「限界代替率」を求めるだけの質問させて頂いて良いでしょうか？
マルチポストにも該当しそうな気もしますが…

回答No.2

noname#101087

>>(∂^2f)/(∂x1^2)=a(x1)^(a-1)(x2)^b=a(a-1)(x1)^(a-2)(x2)^b　　…OK <(x1) の脱字あり?>
>何度見直しも、脱字があるように思えないのですが、正しくはどうなるべきなのでしょうか？

これ、ご質問の原文。
>(∂^2f)/(∂x1^2)=a(x1)^(a-1)(x2)^b=a(a-1)^(a-2)(x2)^b
最後の項に x1 の文字が無いのです。

>（ア）と（イ）は、書き方も同じで良いのでしょうか？それとも結果は同じでも書き方はそれぞれかえる必要があるのでしょうか？
書き方はどちらでもかまわないでしょう。
けど、書き方を揃えておくほうが見やすいかも ....。

>f(x1,x2) = x1 + a*Ln(x2)　このLnとは何でしょうか？
断りなく excel の関数(LN：自然対数)を流用。失礼しました。

>(∂f)/(∂x1) = 1　　…OK
>(∂f)/(∂x2) = a/(x2)　　…OK
>(∂^2f)/(∂x1^2)=0　　…OK

>(∂^2f)/(∂x2^2)=a/1=a　　これは、(∂/∂x2)(a/x2) = -a/x2^2 だと思われます。
>(∂^2f)/(∂x2∂x1)=1+(1/x2)　　これは、(∂/∂x2)(1) = 0 。
>(∂^2f)/(∂x1∂x2)=1+(1/x2)　　これは、(∂/∂x1)(a/x2) = 0 。

[注]二階偏微分における順番のルール例。
　　fxy = (∂^2f/∂y∂x) = (∂/∂y)(∂f/∂x)

お礼

ミスを指摘してくださって助かりました（脱字ではなく、ミスだったと思います。減点の対象になるところでした。　汗）。

>(∂^2f)/(∂x2^2)=a/1=a　　これは、(∂/∂x2)(a/x2) = -a/x2^2 だと思われます。
このあたりの計算がいまいちよくわかりません。
別の問題集の例題の回答例に
例）f(x1,x2)={(x1)^2+1}/(x1x2)
(∂^2f)/(∂x1)^2=(-2)/{(x1)^3x2}
(∂^2f)/(∂x2^2)={(2x1)^2-2}/{x1(x2)^3}
(∂^2f)/(∂x1∂x2)=-{(x1)^2+1}/{(x1)^2(x2)^2}
と載っていますが、何故分母のベキが増えていたり、分子がマイナスに変わるのかがわかりません。

それから
>(∂^2f)/(∂x2∂x1)=1+(1/x2)　　これは、(∂/∂x2)(1) = 0 。
>(∂^2f)/(∂x1∂x2)=1+(1/x2)　　これは、(∂/∂x1)(a/x2) = 0 。
これだと、下記を更に微分しただけに思えるのですが…
>(∂f)/(∂x1) = 1　　…OK
>(∂f)/(∂x2) = a/(x2)　　…OK
そうなると(2)の問題の(∂^2f)/(∂x2^2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)=b(b-1)^a(x2)^(b-2)これも違う解釈になってくるような気がするのですが…
私は
これも(∂^2f)/(∂x2^2)=
これも(∂^2f)/(∂x1∂x2)=
単に元の式にx1とx2を同時に微分するだけだと思っていたのですが…

記号（読み方）の解釈（下記の注を含めて）もわかっていないようです。
もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
>[注]二階偏微分における順番のルール例。
>　fxy = (∂^2f/∂y∂x) = (∂/∂y)(∂f/∂x)

回答No.1

noname#101087

ミクロに限らず、「経済学」は門外漢なので偏微分についてのみ。

>(1)に関しては全くわからず

ヒントだけ。
(1) f(x1,x2) = x1 + a*Ln(x2)
　∂f/∂x1 = 1
　∂f/∂x2 = a/x2　　(x2 > 0)
…

>(2)に関しては、途中までしてみました。あっているでしょうか？

(∂f)/(∂x1)=a(x1)^(a-1)(x2)^b　　…OK
(∂f)/(∂x2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)　　…OK
(∂^2f)/(∂x1^2)=a(x1)^(a-1)(x2)^b=a(a-1)(x1)^(a-2)(x2)^b　　…OK <(x1) の脱字あり?>
(∂^2f)/(∂x2^2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)=b(b-1)^a(x2)^(b-2)　　…OK

　(∂^2f)/(∂x2∂x1) = (∂/∂x2)(∂f/∂x1) = (∂/∂x2)[a{x1^(a-1)}*(x2^b)]
　= a{x1^(a-1)}*b{x2^(b-1)}

(∂^2f)/(∂x1∂x2)=ab(x1)^(a-1)(x2)^(b-1)　　…OK <これ、結果は前のと同じなのよ>

お礼

(2)について解説ありがとうございます。
>(∂^2f)/(∂x1^2)=a(x1)^(a-1)(x2)^b=a(a-1)(x1)^(a-2)(x2)^b　　…OK <(x1) の脱字あり?>
何度見直しも、脱字があるように思えないのですが、正しくはどうなるべきなのでしょうか？

（ア）
>(∂^2f)/(∂x2∂x1) = (∂/∂x2)(∂f/∂x1) = (∂/∂x2)[a{x1^(a-1)}*(x2^b)]
> = a{x1^(a-1)}*b{x2^(b-1)}
（イ）
>(∂^2f)/(∂x1∂x2)=ab(x1)^(a-1)(x2)^(b-1)　　…OK <これ、結果は前のと同じなのよ>
すると（ア）と（イ）は、書き方も同じで良いのでしょうか？それとも結果は同じでも書き方はそれぞれかえる必要があるのでしょうか？

(1)についてヒントを頂きありがとうございます。
>f(x1,x2) = x1 + a*Ln(x2)
このLnとは何でしょうか？（きっと聞くこと自体情けない質問だとはわかるのですが…）

ヒントを参考にしてみました。もし良ければアドバイスお願いします。
(∂f)/(∂x1) = 1
(∂f)/(∂x2) = a/(x2)
(∂^2f)/(∂x1^2)=0
(∂^2f)/(∂x2^2)=a/1=a
(∂^2f)/(∂x2∂x1)=1+(1/x2)
(∂^2f)/(∂x1∂x2)=1+(1/x2)
いかがでしょうか？