モンティ・ホール問題

質問

モンティ・ホール問題というのは、Let's Make a Dealというスタジオの視聴者の中から選ばれた「トレーダー」と呼ばれる人々が、司会者と取引をするという形式をとった番組の中で起こった出来事です。
ドアA、ドアB、ドアCにはそれぞれヤギ、ヤギ、車がランダムで入っており、トレーダーに車が入っているドアを当てさせます。
まずトレーダーがドアを一つ選びます。
次に司会者のモンティは残りのドアの内ヤギが入っているドアを開けます。
そしてモンティはトレーダーにドアを変更しても良いと言います。
この時、トレーダーはドアを変更するべきかどうか？
これがモンティ・ホール問題です。
一人のトレーダーがこのゲームを何回もやっていいのであれば、最初に外れたドアを選ぶ数学的確率は２/３であり、当たるドアを選ぶ数学的確率は１/３であるので、外れる確率が多いのだからドアを変更した方がいいという結論になるのは簡単な論理ですね。
でもこのトレーダーは一回しかチャンスは与えられていません。
確かに何回もやればその確率のように当たるのは１/３、外れるのは２
/３になるでしょう。でも一回しか試行できない場合確率を適用できるのでしょうか。
例えばコイントスで表裏が出る確率は確かにそれぞれ１/２ですが、実際に２回続けてやった場合、表と裏が一回ずつ出るわけではありませんね。表が続けて出るときも裏が続けて出るときもあるのです。
このように回数が少ない時は数学的確率と実際の結果はそぐわないのです。まして一回しか試行できない場合はなおさら確率とは関係なくなり、後はその時の運次第と言えるだけです。
だからこのモンティ・ホール問題のトレーダーさんが車を手に入れるのは運が良ければということになるのであって、確率から変更した方がよいとは結論できないのです。
数学的確率がどのくらい小さいと変更した方がいいかという別の問題を提起する人がいますが、それは論理のすり替えという詭弁です。
例えばよくドアの数を１０枚にした時を考えたらわかるでしょ、というのは実際の３枚のドアの場合とは明らかに状況が変わっているのですから受け入れられない詭弁なのです。まして１００枚にしたらとか１０００枚にしたらというのは論外ですからこの詭弁に納得しないようにしてください。
以上の話に賛成してくださる方はいますか。おかしな点があればそれをしてくだされば有難いですのでお願いします。

回答No.4

sknbsknb2

回答No.2です。

あなたがこの問題の本質を理解しているのかどうかわからないのですが、最終結論としては、
ドアを変更しなかった時：当たる確率は1/3
ドアを変更した時：当たる確率は2/3
となるわけです。

車をゲットしたいと思うなら、当たる確率の高い方を選ぶ(ドアを変更する)のが普通だと思いませんか？

私なら絶対にドアを変更します。だって当たる確率が倍になるどころか、1/2を遥かに上回るんですよ。

お礼

回答ありがとうございます。
一回の試行しかできない出来事の場合は蓋然性（確率）は適用できなくて、可能性（当たる場合もあれば当たらない場合もある、確率としては１か０。）しかないと思います。
一人のトレーダーが何回もこのゲームをやるか、多くの人がこのゲームをやる場合は外れる平均の割合が数学的確率２/３に近づき当たる数学的確率１/３の２倍に確かになると思いますので変更した方がいいという結論になると思います。
この問題の面白くて優れているところはドアの数が３枚で外れる数学的確率が２/３という微妙な点です。もしも４枚とか５枚だと、その確率は３/４とか４/５となって、一回の試行でも外れると判断しやすく変更した方がいいなと決断しやすくなりますね。この問題は初めに何枚のドアがあればあなたは迷わず変更することを選びますか、という心理ゲームになっているのですね。だからこの問題を解説する人はほとんどがドアが１０枚あったらとしていますね。この場合は外れる数学的確率が９/10となりほとんどの人は当然のように変更しますからね。
（以下余談です。年末ジャンボ宝くじの６等3,000円が当たる確率は100分の1らしいですが、それでも買う人が大勢いることを考えるとどんなに当たる確率が小さくてもそれを選ぶ人はいるということでしょうから変更した方がいいですよと言ってもそれに応じない人もいるんでしょうね。蓋然性よりも可能性に掛けるのは人間の夢なんでしょうね。そんな人を説得することはむずかしいですね。）

回答No.3

f272

「このように回数が少ない時は数学的確率と実際の結果はそぐわないのです」というのはその通りです。では、その際に運任せにする方がよいとは結論付けることはできません。どのようにすべきかという問いなのだから確率が高いほうがよいと結論付けるのが合理的な人のやり方です。
非合理な選択を排除するものではないですので、それぞれの人が好きにしてください。

お礼

あなたがこのトレーダーだったら変更する方を選ぶということですね。
回答ありがとうございました。

補足

結局この問題は、当たる数学的確率が何分の１以下だったら、つまりドアの数が何枚以上あったら確信をもってこのトレーダーさんに変更すべきだと言えるのかということにつきますね。私は１/３の場合は誰も自信をもって変更すべきだとは言えないと思います。でも大方の人は変更するということなのでしょうね。

回答No.2

sknbsknb2

確かに一人のトレーダーが当たるか当たらないかはその人の運なので、あなたの言うとおりです。

しかし、もし1万人が同じゲームに挑戦して、ドアの変更をした人のほうが、そうしなかった人に比べて明らかに車をゲットしている場合が多いという結果になっていたらどうでしょう。

それこそが、ドアを変更したほうが車をゲットできる確率が高いということで、それを知っている人がこのゲームに参加したら、必ずドアを変更するはずです。

そして、ドアを変更したほうが当たる確率が高くなることは、数学的に証明されています。(というか、全部の場合を考えると、ドアを変更したほうが有利なことがわかります)

お礼

回答ありがとうございます。
あなたがこのトレーダーだったら変更するということですね。

補足

>しかし、もし1万人が同じゲームに挑戦して、ドアの変更をした人のほうが、そうしなかった人に比べて明らかに車をゲットしている場合が多いという結果になっていたらどうでしょう。

そうなると私は述べたつもりですが、言葉足らずで通じなかったみたいです。すいませんでした。

何人もの人がこのゲームをやれば確率が適用されるのは当然です。確率はそういうものですから。

回答No.1

eroero4649

モンティ・ホール問題は著名な数学者も巻き込んだ難問で、そのレベルの数学者でも質問者さんがいうように「選択肢を変えたからといって当たる確率が増えるのは数学的に正しくない」といった人たちもいました。

だけど複雑な計算を色々やった挙句に「数学的にはドアを開けられたら選択を変更したほうが当たる確率が高い」という証明がされたそうですので、まあ数学者がそういうならそうだと我々は信じるしかないですね。
もちろん私はその計算式を見せられてもじぇんじぇん理解できません。

論理のすり替えとか詭弁とかではなく「数学的に正しいなら、正しい」ですね。それが否定されると科学や物理は成立しなくなります。
数学の問題を、数学以外の分野で論じても意味ないですよ。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

私が問題にしているのは試行回数が一回ということです。それでも確率を適用できるのかということです。
このトレーダーさんに自信をもって変更しなさいと言えますか。