モンティ・ホール問題

質問

モンティ・ホール問題について「選択を変えても変えなくても当たる確率は同じ」という結果に至る思考過程がどういうものなのか教えてください。

以下の問題文はwikipediaからの引用です。
プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？

回答No.7

asciiz

＞司会者が当たりを開いた上で選択を変えるか変えないか迫られるというのがどういう状況なのかわかりません。

それは、司会者が無作為に開くドアを選ぶと仮定した場合に、起こり得る事象です。
実際にそんなことはやらないので、思考実験ということになりますが。(「開ける」じゃなくて「バツを付ける」とした方が良いですかね…)

司会者が空けるドアを無作為に選んだ場合、回答者が最初に選んだドアも、残っているドアも、確率1/3で等しいです。(思考実験)
しかし実際には司会者がハズレを選んで開けているために、残されたドアにアタリのある確率が高まります。(実際の番組)
そしてここで、普通の人は、司会者は無作為にドアを選んで開けている(前者の状況)と思い込むことにより、最初に選んだドアと残されたドアは同じ確率であると誤解します。
…というのが一般人の思考である、ということで納得いただけませんでしょうか。

回答No.6

limit070813

翻訳機を使ってます。 すいません😭😭

モンティ・ホール問題は、参加者が「選択を変える」という前提で「条件付き確率」を利用して計算します！！

"1番ドアを選択したという前提"に、

1.この時、1番のドアの後ろに景品の新車がいる場合。
2番と3番両方ヤギがいるのでどんなドアに選択を変えても景品の新車を得られません!!

2. 1番ドアの後ろにはヤギが、2番ドアの後ろには景品の新車がいる場合。
司会者は3番の扉を開けるしかなく、この時選択を変えたら景品の新車を得ることができます!

3.1番ドアの後ろにはヤギが、3番ドアの後ろには景品の新車がいる場合。
これも二番目の場合と同じです!!

「選択を変える」3つの場合の中から、

1. 1番ドアの後ろに景品の新車がある場合
2. 1番ドアの後ろにヤギが、2番ドアの後ろに景品の新車がいる場合
3. 1番ドアの後ろにヤギが、3番ドアの後ろに景品の新車がいる場合

どうですか？ 3つのうち2つが、景品の新車を得ますよね？

よって、選択を変えて景品の新車を得る確率は

2/3、約66.6%となっています。

私もこれ見て他の確率の場合もあるだろうと、2/3は間違えた！~と思いました!!

最初に私が考えた解釈があります。
レベルが低いと感じるのではないかと少し心配になります。 でも共有したらいいと思います！

ヤギ2匹をヤギA、ヤギBに分けて考えてみた場合です。
「選択を変える」という仮定の下で場合の数は3ではなく4になるのですよね！

「選択を変える」4つの場合の中から。

1. 1番のドアの後ろに景品の新車がある、司会者はAを公開した場合。
2番ドアと3番ドアの後どちらにもA,Bがあるので、どんなドアに選択を変えても景品の新車が得られません！ でもこの時、司会者はヤギA、Bの中でAを見せた場合。

2. 1番のドアの後ろに「景品の新車」がある、司会者は「B」を公開した場合。
1番の場合と似ています! しかし、この時2番はヤギAではなく、ヤギBを見せた場合です。

残りのケースは、最初に提示したものと同じです。

3. 1番ドアの後ろには「ヤギA」が、2番ドアの後ろには「景品の新車」がある場合。
司会者は3番のドア(ヤギB)を開けるしかなくて、この時選択を変えたら景品の新車を得ることができます!

4. 1番ドアの後ろには「ヤギB」が、3番ドアの後ろには「景品の新車」がある場合。
司会者は2番のドア(ヤギA)を開けるしかなくて、この時選択を変えたら景品の新車を得られます!

1番と2番は変えると景品の新車を得られません。
しかし、3番と4番は選択を変えると景品の新車を得られますよね？

確率は1/2、50%です。

でも、当選かどうか、成功の有無に関する問題だから、何のヤギかは関係ありません！！
同じヤギだからです。 私は前提を勝手に変えておいて、この2回目の解釈を考えたので、この解釈は間違っています。
ヤギを同おなじヤギだと思おもっていたから、みんな間違まちがっていると思おもったんですw

翻訳機を使って字が変なのに読んでくれて本当にありがとうございます。😭😭😭

回答No.5

asciiz

＞無作為に選んでいたとしてもハズレが出た以上確率は変わらなくないですか？

その、直感と食い違う結論になってしまうところが、この「モンティホール問題」のミソです。

例えばこちらの動画を見ると、「扉を変えると、2/3の確率で当たる」と言うことが分かります。

＞とても分かりやすい「モンティホール問題」【ゆっくり解説】(約4分)
＞https://www.nicovideo.jp/watch/sm37689939

上記の動画では、いわば「総当たりによる説明」。
場合分けをすると、確かに2/3となる。
でもやっぱり直感には反しているかもしれません。

それではこちらの解説の後編はどうでしょう。

＞クイズ　タイガー道場　第三問解説
＞https://www.nicovideo.jp/watch/sm2839832

ドアがたくさんあって、あなたが1つ選んだあと、司会者がハズレのドアを開けまくる。
そうして残った一つと、最初の一つ、どちらが当たる確率が高いでしょう…?

この確率の差が生じるのは、「司会者が必ずハズレを開ける」と言うルールであるために、生じた物です。
無作為に扉を開けていたら、途中で当たりが出てしまいますよね。
ですから、「司会者が『必ず』ハズレを開ける」という事で、確率は変わってしまうんです。

補足

ん？司会者が当たりを開いたらそれは当たりだとわかっちゃうんじゃないんですか？もし開けた先に車があったらもはやただの答え合わせでなんの意味もないように思えますが……
ともかく、司会者が当たりを開いた上で選択を変えるか変えないか迫られるというのがどういう状況なのかわかりません。
また、司会者が無作為か故意かにかかわらず、ハズレを開いたと知った時点で確率は一緒ですよということを主張しているので、それは繰り返しです。説明力、理解力がなくて申し訳ありません。

回答No.4

sknbsknb2

回答No.1です。回答No.1の補足についてです。

問題は「直感的に」判断すると間違えるということです。

私の回答に書いたような思考過程のみで考えてしまい、すべての場合について考えてみるということをしなければ間違えると思います。
というか、私も直感的には確率は変わらない派で、高名な数学者もこの罠にハマっているみたいです。(本当かどうかはわかりませんが)

あなたが、「ドアの選択を変更することで」当たる確率が倍になることを「直感的に」わかるのであれば、あなたは素晴らしい数学的才能を持っているか、すべての場合を直感的に把握できてしまうほど思考が速いということです。

そうなると、あなたにとって凡百の人間の思考過程を理解することは不可能なので、「天才は凡才の考えることを理解できないから、思考過程を示しても無駄です」というのが、この質問の答になると思います。

回答No.3

asciiz

おそらくこのような物だと思います。

(1) 開ける前、どのドアを選んでも当たる確率は等しく1/3。
(2) ドアが開けられた後、2つのうちのどちらかが当たりなのだから、どちらを選んでも1/2。
(3) それなら、選択を変えても変えなくても変わらない。
((4) そして人は、一度自分が選んだ物を変えることに抵抗がある)

(2)の所に誤解があって、「司会者は必ずハズレを開ける」というルールがあります。
もしこれが、「司会者はランダムにドアを一つ開ける」であれば、上記の推論通り、選択を変えても変えなくても当たる確率は変わりません。
その代わり、「司会者が開けたドアが当たりだった」という状況が起こりえます。
もしその状況で「選択ドアを変えても良いですよ」と言われても、「どっちもハズレじゃねーか!!」と怒り出すことでしょう。

「恣意的にハズレを選んで開けている」事を、「無作為に開けている」と誤解することにより、残った2つのどちらのドアも等しい確率であると計算してしまうのだと思います。

補足

無作為に選んでいたとしてもハズレが出た以上確率は変わらなくないですか？
自:選ぶ(当1/3)→司会者がハズレの選択肢を潰す(恣意的だろうと偶然だろうとハズレの選択肢が一つ潰れたことには変わりない)→残りのドアが当たりである確率は2倍(2/3)
それとも司会者がドアを選んでもそれが当たりかどうかわからないかもという誤解が生じるということでしょうか？開けるのに？

回答No.2

eroero4649

乱暴にいえば、ドアが一つ開けられて確率は半々になったわけだから、変えても変えなくても当たる確率は変わらないってことです。

ただ、その問題は世界中の数学者が侃々諤々の大議論の末に、「選択を変えたほうが当たる確率が（変えなかったときより）高くなる」と証明されました。
といっても、その数式を見ても私は理解できませんけれど。

補足

どうしてはじめに1/3で選んだドアともう一方のドアが同じ確率と思うのか不思議でたまりません。最初が1/3であることを見落としているように思います。
1/3で選ぶ→司会者がハズレを開ける→もう一方のドアが当たる確率は、最初に当たりを選ばなかった確率と同じ。つまり、2/3となります。

回答No.1

sknbsknb2

(1)3つのドアのうち、当たりはひとつだから、当たる確率は1/3
(2)司会者がハズレのドアを開けるのは、プレーヤがドアの選択をしたあとなので、1/3という確率が変わることはない。
(3)従って、どちらのドアを選んでいたとしても、当たるのは1/3の確率であり、選択の変更による変動はない。

という感じでしょうか。

補足

3人とも違った思考を予測されていて興味深いです。この問題を間違える人は単なる見落としをしてるだけにしか見えなくなってきました。少し考えれば理論的にはもちろん感覚的にも2回目が1/3で同一とは思わないはずです。