指数・対数問題

質問

添付資料の質問です。
(1) α=log[1000]2とおくとき、pα＞1となる最小の整数pを求めよ。
これは、底を変換して
α=(1/3)log[10]2
pα=(p/3)log[10]2＞1
2＞10^(3/p)
2^p＞10^3
からp≧10です。
(2)の0＜pα-1＜1/pの左側は当然ですが、右側の不等式がわかりません。
よろしくお願いします。
なお、(3)は(2)から導くことができました。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

計算の手間を考えて必要最低限にすれば…

2^13=8192<10^4 だから両辺の常用対数をとって 13log2<4 ∴log2<4/13 ∴(10/3)log2<40/39 ∴(10/3)log2-1<1/39<1/10

お礼

staratras様
対数問題は、10^nに変換を考えればいいですね。ありがとうございました。

回答No.3

staratras

No.2の回答では、log11をいわば中継ぎとして2段階でpα-1<1/p を示しましたが、同様の解法でも桁数を増やせば、1段階で示すことが可能です。ただこれでは、実質的にはlog2の近似値を求めていることになりますので、「近似値を使わずに」という出題者の条件との兼ね合いが微妙です。

2^33=8589934592<10^10 だから両辺の常用対数をとって
33log2<10
∴log2<10/33
∴(10/3)log2<100/99
∴(10/3)log2-1<1/99<1/10

回答No.2

staratras

以下の回答で常用対数の底は省略。設問(2)は(10/3)・log2-1<1/10をlog2の近似値を使わずに示せということ。

11^3=1331>1024=2^10　であるからこの常用対数を取って
3log11>10log2
∴log11>(10/3)log2
∴log11-1>(10/3)log2-1　…（１）

また10^11>11^10である(注）からこの常用対数を取って
11>10log11
∴11/10>log11
∴1/10>log11-1　…（２）

(1)（2）から(10/3)log2-1<1/10

(注）10^11>11^10である説明
関数f(x)=(log(x))/x を考えると
f'(x)=(1-ln(x))/(x^2・ln(10))であるから(lnはeを底とする自然対数）
x>eでは、f'(x)<0で、f(x)は減少する
∴log10/10>log11/11　…（３）
∴11log10>10log11
∴log10^11>log11^10
∴10^11>11^10

y=logx のグラフ上の２点(10,log10)および(11,log11)と原点をそれぞれ結んだ直線の傾きを考えても（３）が成り立つのは明らかでしょう。

回答No.1

tmppassenger

あまりいい方法はない。以下αが面倒なのでaと書く。

p=10であるから、10a-1 < 1/10を示せば良いが、10a - 1 = (log 1024) / (log 1000) - 1 = (log 1.024) / log (1000) であるので、10 (10a-1) = (log (1.024 ^ 10) )/ log(1000)となる。

従って1.024 ^ 10 < 1000を示せばいいが、1.024^10 < 1.1^10 = 1.21^5 < 2^5 = 32 < 1000なので、確かにその通りである。