x＾3の様な関数はテイラー展開の対象になりますか

質問

何回も微分できないものは対象になりませんか。

回答No.5

gamma1854 · ベストアンサー

まず、以下の式は「恒等式」であることを確認してください(右辺を展開して)。

x^3 = a^3 + 3*a^2*(x - a) + 3*a*(x - a)^2 + (x - a)^3 ... (*)
ーーーーーーーーーー
x=a の近傍で定義された(滑らかな)関数 f(x) は、
f(x) = Σ[k=0~∞] a[k]*(x - a)^k.
と展開されます。f(x) = x^3 を、x=a のまわりで展開したのが(*)です。
x=a のときは、代入してみてください。

お礼

だめかもしれませんが、初めから勉強しなおします。

回答No.4

gamma1854

※何が分からないのかはっきりしません。
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f(x)=x^3 を x=0 のまわりで展開すると、x^3,
x=a のまわりで展開すると、
f(x) = a^3 + 3*a^2*(x - a) + 3*a*(x - a)^2 + (x - a)^3
となります。展開して確認してください。
a=0 のとき、Maclaurin 展開と言っています。
-----------------------------------
f(x)=x^n, (n=1, 2, 3, ...) に関してはもちろん、何回でも微分可能です。

お礼

ご教示を読みながら前、改めて考えさせていただきます。

補足

>x=a のまわりで展開すると、
>f(x) = a^3 + 3*a^2*(x - a) + 3*a*(x - a)^2 + (x - a)^3
となります。
x-aは0になりますか。

回答No.3

gamma1854

「原式」は x^3 のことです。
x=a+u とおき代入してください。先に書いたのは a=2 のときのことです。

お礼

すみません。これがテーラー展開なのですか。

補足

完全にパニック状態です。ここで諦めるのはいかにももったいないので残念です。何かヒントをいただけないでしょうか。

回答No.2

gamma1854

x=a であれば、x-a=u とおき、x=a+u を原式に代入してください。
aはどんな実数でも同じことです。

お礼

原式とはx^3 = 8 + 12(x - 2) + 6(x - 2) + (x - 2)^3のことですか。

回答No.1

gamma1854

f(x)=x^3 は任意の実数ｘで展開可能です(無限回微分可能)。
たとえば、x^3 を x=2 のまわりで展開すると、
x^3 = 8 + 12(x - 2) + 6(x - 2) + (x - 2)^3
となります。(４次以上の係数はすべて０)

お礼

テーラー展開は学んだことがないので、あこがれしかないのですが、自分でもわかりそうな関数で可能だったらこんなにうれしいことはありません。勉強させていただきます。

補足

x　が2以外の場合はどうなるのでしょうか。