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数学 積分
上野 尚人（@uenotakato）の回答
(1) f(x) = (1/2) x^2 - 3a g(x) = -(1/2)x^2 + 2ax - a^3 - a^2 とおく。 f(x) = g(x) とすると x^2 - 2ax + a^3 + a^2 - 3a = 0 …(*) (*) が異なる２つの実数解をもつので、判別式をDとすると D > 0 となる。 D/4 = a^2 - (a^3 + a^2 - 3a) = -a^3 + 3a D > 0 を解くと a < -√3 , または 0 < a < √3 aは正なので 0 < a < √3 …答 (2) (*) の異なる２つの実数解をα , β (α < β) とする。 S(a) = ∫(α→β) { g(x) - f(x) } dx = ∫(α→β) { - (x - α) (x - β) } dx = (1/6) (β - α)^3 ここで、(*) を解の公式で解くと x = a ± √(D/4) よって β - α = 2 √(D/4) = 2√(-a^3+3a) であり、 S(a) = (4/3) (-a^3 + 3a)^(3/2) …答 (3) h(a) = -a^3 + 3a とおく。 0 < a < √3 において h(a) の値が最大となるときを求める。 h’(a) = -3a^2 + 3 = -3 (a + 1) (a - 1) 増減表をかくことで、 a = 1 のとき最大とわかる。 このとき S(a) も最大であり、その値は S(1) = (4/3) * 2^(3/2) = 8√2 / 3 …答
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