単位円を用いてーcosθをsin式に変換するには？

質問

三角関数 ーcosθ=＋sin(θ―90°)　が成立するが、これを単位円を用いて
証明するには、いったいどのようにすれば良いでしょうか？

　「余角の公式」の1つである＋sin(90°―θ)=＋cosθ　の場合は、
単位円を用いて容易に証明できるのですが、本質問のように
sinの（　）内のθと90°とが入れ替わった状態において
単位円を用いての考え方が不明です。
単位円にて、ご指導していただければ有り難いです。

※ 単位円を用いて考えた場合、以下の＜理由＞により
ーcosθ=＋sin(θ＋90°)となってしまうので伺うものです。
　<理由>
単位円を描き、角を起点となる横軸(x軸)＝（＋cosθ）の位置から
反時計方向に１８０°移動させた位置が、(―cosθ)になる。
一方、(+sinθ)は単位円上の縦軸(Y軸)に該当するので、この位置から
反時計方向に＋９０°進んだ位置が、(－cosθ）の位置である。
よって、ーcosθ=＋sin(θ＋90°)となってしまうので。
　以上　宜しくお願い致します。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

cosθとsin(θ―90°)を図示すれば添付図の通りです。符号を無視すると長さは等しいことは明らかです。ここでsin(θ―90°)はx軸よりも下にありますから符号はマイナスで，cosθはy軸よりも右にありますから符号はプラスですから，符号を合わせるために-cosθ=sin(θ―90°)とします。

補足

視覚的に解説いただき、有難うございます。要旨としては
「θを鋭角と考えると＋sin(θー90°)は第4象限の角となり、
この第4象限の角のsinはー(負)号なので、このー(負)符号に合わせるためには第1象限にある＋cosθに対して―符号を付けたーcosθとする必要があり、これでやっと両者を等号で結べる。よって、最終的にーcosθ=＋sin(θ―90°)　が成立するというストーリーですね！
ただ、これはあくまで右辺である＋sin(θー90
°)側から考察したストーリであり、左辺のーcosθ側から
考察する場合、即ち、第1象限にある＋cosθの単位円から
考え始めるのではなく最初から第2象限あるいは第3象限にあるーcosθから考えることは、できない(or できても煩雑となる)のでしょうか？
以上 解説を受けて追加質問させていただきます。
お手数ですが、宜しくお願いします。

回答No.2

f272

> これはあくまで右辺である＋sin(θー90°)側から考察したストーリであり

なぜ？θを鋭角として考え始めたのだから，どこから考え始めてもこうなるよ。

> 最初から第2象限あるいは第3象限にあるーcosθから考えること

θを鋭角として考え始めたのだから，cosθは第1象限で考えます。第2象限あるいは第3象限を考えるのはcos(180-θ)だったり，cos(θ+180)です。もちろん値としては-cosθと等しくなりますが，最初からそこにあるわけではありません。