単位円

質問

単位円の問題でわからないものがあります。
解法が分からないので、解法を教えてください。解法が分かったら自分で解きます！

0°≦θ≦180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、次の式の値を求めよ。
（1）sinθcosθ
（2）sinθ-cosθ
（3）sin^3θ-cos^3θ

よろしくお願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

因数分解の公式を思い出せばいいと思います。
（ａ＋ｂ）^2，（ａ－ｂ）^2，ａ^3－ｂ^3　など。
ａ＝sinθ，ｂ＝cosθ　とおく。

0°≦θ≦180°なので、sinθとcosθの符号に注意する。
この範囲では、0≦sinθ≦1
0°≦θ≦90°のとき、0≦cosθ≦1，90＜θ≦180°のとき、-1≦cosθ＜0

＞0°≦θ≦180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、次の式の値を求めよ。
＞（1）sinθcosθ
（sinθ＋cosθ）^2＝sin^2θ＋cos^2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθだから、
2sinθcosθ＝(1/2)^2－1＝-3/4より、
sinθcosθ＝-3/8

＞（2）sinθ-cosθ
（1）より、sinθcosθ＝-3/8＜0だから、
0°＜θ＜180°で、sinθ＞0より、cosθ＜0だから、－cosθ＞0
よって、sinθ－cosθ＞0
（sinθ－cosθ）^2＝（sinθ＋cosθ）^2-4sinθcosθ
＝(1/2)^2－4・(-3/8)＝7/4
よって、sinθ－cosθ＝√7/2

＞（3）sin^3θ-cos^3θ
sin^3θ-cos^3θ＝(sinθ－cosθ)(sin^2θ＋sinθcosθ＋cos^2)
だから、あとは（1）（2）で求めたものを代入すればいいです。

回答No.3

gohtraw

ｓｉｎΘ＝ｓ、ｃｏｓΘ＝ｃとします。
ｓ＋ｃ＝１／２　より
（ｓ＋ｃ）＾２＝ｓ＾２＋２ｓｃ＋ｃ＾２
　　　　　　　＝１／４
一方　ｓ＾２＋ｃ＾２＝１　なので、
２ｓｃ＝－３／４
ｓｃ＝－３／８

（ｓ－ｃ）＾２＝ｓ＾２－２ｓｃ＋ｃ＾２
　　　　　　＝１－２ｓｃ
　　　　　　＝７／４
従って　ｓ－ｃ＝±√７／２　となるが、与えられたΘの範囲ではｓ＞＝０であることとｓｃ＜０であることからｃ＜０。よってｓ－ｃは正の値をとり　ｓ－ｃ＝√７／２

ｓ＾３－ｃ＾３＝（ｓ－ｃ）（ｓ＾２＋ｓｃ＋ｃ＾２）
　　　　　　　＝（√７／２）（１－３／８）

回答No.2

spring135

θは書くのが面倒なのでt=θを用いる。sint^2+cos^2t=1

をしばしば用いる。

sint+cost=1/2 (1)

(1)(1)を２乗して

1+2sintcost=1/4

sintcost=-3/8

(2)y=sint-costとおく

y^2=1-2sintcost=1-2(-3/8)=7/4

y=±√7/2

0°≦t≦180でyのグラフを書いてy=sint-cost＝√7/2

(3)sin^3t-cos^3t=(sint-cost)(sin^2t+sintcost+cos^2t)=(√7/2)(1-3/4)=√7/8

回答No.1

yyssaa

（1）sinθcosθ
＞sinθ+cosθを二乗するとsinθcosθが表れる。
（2）sinθ-cosθ
＞(1)が分かったら同じようにやる。
（3）sin^3θ-cos^3θ
x^3-y^3=(x-y)*(x^2+xy+y^2)