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単位円
単位円の問題でわからないものがあります。 解法が分からないので、解法を教えてください。解法が分かったら自分で解きます! 0°≦θ≦180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、次の式の値を求めよ。 (1)sinθcosθ (2)sinθ-cosθ (3)sin^3θ-cos^3θ よろしくお願いします。
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因数分解の公式を思い出せばいいと思います。 (a+b)^2,(a-b)^2,a^3-b^3 など。 a=sinθ,b=cosθ とおく。 0°≦θ≦180°なので、sinθとcosθの符号に注意する。 この範囲では、0≦sinθ≦1 0°≦θ≦90°のとき、0≦cosθ≦1,90<θ≦180°のとき、-1≦cosθ<0 >0°≦θ≦180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、次の式の値を求めよ。 >(1)sinθcosθ (sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθだから、 2sinθcosθ=(1/2)^2-1=-3/4より、 sinθcosθ=-3/8 >(2)sinθ-cosθ (1)より、sinθcosθ=-3/8<0だから、 0°<θ<180°で、sinθ>0より、cosθ<0だから、-cosθ>0 よって、sinθ-cosθ>0 (sinθ-cosθ)^2=(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ =(1/2)^2-4・(-3/8)=7/4 よって、sinθ-cosθ=√7/2 >(3)sin^3θ-cos^3θ sin^3θ-cos^3θ=(sinθ-cosθ)(sin^2θ+sinθcosθ+cos^2) だから、あとは(1)(2)で求めたものを代入すればいいです。
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- gohtraw
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sinΘ=s、cosΘ=cとします。 s+c=1/2 より (s+c)^2=s^2+2sc+c^2 =1/4 一方 s^2+c^2=1 なので、 2sc=-3/4 sc=-3/8 (s-c)^2=s^2-2sc+c^2 =1-2sc =7/4 従って s-c=±√7/2 となるが、与えられたΘの範囲ではs>=0であることとsc<0であることからc<0。よってs-cは正の値をとり s-c=√7/2 s^3-c^3=(s-c)(s^2+sc+c^2) =(√7/2)(1-3/8)
- spring135
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θは書くのが面倒なのでt=θを用いる。sint^2+cos^2t=1 をしばしば用いる。 sint+cost=1/2 (1) (1)(1)を2乗して 1+2sintcost=1/4 sintcost=-3/8 (2)y=sint-costとおく y^2=1-2sintcost=1-2(-3/8)=7/4 y=±√7/2 0°≦t≦180でyのグラフを書いてy=sint-cost=√7/2 (3)sin^3t-cos^3t=(sint-cost)(sin^2t+sintcost+cos^2t)=(√7/2)(1-3/4)=√7/8
- yyssaa
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(1)sinθcosθ >sinθ+cosθを二乗するとsinθcosθが表れる。 (2)sinθ-cosθ >(1)が分かったら同じようにやる。 (3)sin^3θ-cos^3θ x^3-y^3=(x-y)*(x^2+xy+y^2)
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