三角比のサイン・コサインの変換

質問

どう変換しているかわからないので教えてください。90=90度、180=180度などとします。

(1)sinΘ=cos(90-Θ)=-cos(Θ+90)=sin(180-Θ)=-sin(180+Θ)=-cos(270-Θ)=cos(90-Θ)=-sin(-Θ)

(2)cosΘ=sin(90-Θ)=sin(Θ+90)=-cos(180-Θ)=-cos(180+Θ)=-sin(270-Θ)=-sin(Θ-90)=cos(-Θ)

これらは一瞬にして出来るようです。考え方の基本としてなんとなく理解できたところがあるのでそれを書きます。

sin(Θ-90)を考えます。まず、単位円の縦軸をsin、横軸をcosとします。sin(Θ-90)の90を消したくなったら、勝手に＋90してします。そうすると、sin(Θ)となりますが、このままでは明らかにおかしいです。なのでそのかわりに、（先ほどの単位円をイメージしてください。）単位円においても＋90する（時計で言えば反時計回りに12時から9時の位置に針を動かす。）のです。そうすると見事に[-cosΘ]になりますよね。単位円においては反時計回りが正です。

この考え方は一応理解できて、sin(180±Θ),cos(90±)などは暗記せずに助かっているのですが、上の(1)(2)はわかいません。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

FM-8 · ベストアンサー

蛇足です.
三角関数の加法定理ご存知ですか?

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

と言うものです.
これと，
sin(-α)=-sin(α)　　・・・sin関数は奇関数(f(-x)=-f(x)).
cos(-α)= cos(α)　　・・・cos関数は偶関数(f(-x)=f(x)).

を組み合わせると，この手の関係式は出てきます.
cos(90°-Θ)=cos(90°)cos(-Θ)-sin(90°)sin(-Θ)
=cos(90°)cosΘ　+sin(90°)sinΘ
=sinΘ

cos(90°)=0
sin(90°)=1
なども用います.

こういうやり方は質問からはズレていると思いますが
検算にでも使ってください.

単位円を書いて，その上で単位ベクトル(単位円の上をぐるぐるまわるベクトル)を描画して三角関数を理解するのは
定義に近くてとてもよい方法だと思います.
単位円上で任意の角度Θで単位ベクトルを描いて，
それを-90°とか回転させた状態でのsin,cosを考える事になりますね.

それでは.

回答No.2

tekcycle

例えば単位円上で、sin30とcos60は、「合同な三角形」の「同じ辺の比」を計ってますよね。
あるいは、｜sin30｜と｜cos120｜でも良いですが。

私の覚え方はもっとシンプルで、
・｜sin｜と｜cos｜はどちらかを90度ずらしたり、90度からその角を引いたりした場合、sinとcosを入れ替えると元の値になる。(図形的に等価だから)
・sinは０↑１↓０↓－１↑０、cosは１↓０↓－１↑０↑１というように周期的に動く。
・正負の符号は単位円のｘｙの正負を見て追々考える。
です。

回答No.1

tekcycle

(1)(2)のうちのどこが解らないのか判りませんが、
sin0、sin30、sin45、sin60、sin90、sin0、cox30、cos45、cos60、cos90

等の代表的な角と単位円をそれぞれ一覧表に書いてみて、「図形的に等価な」sin、cosを探し、符号はまた別個に見たらどうでしょう。
勿論、それらを±90、±180した物も表に書きます。

補足

どうも、ありがとうございます。
「図形的に等価」とはどういうことでしょうか。具体例などを挙げていただけるとうれしいです。