数学の質問です。

質問

仕事の中で、数学を使う必要がでてきましたので、教えてください。

保険契約で、1年ごとに更新される場合を前提としています。
95％の確率で更新され、5％の確率で、更新されない、とします。
この場合、この保険契約が存続するのは、平均的に、何年間と考えられるでしょうか。
数学的な根拠も合わせて教えていただけますと幸甚です。

回答No.2

CygnusX1 · ベストアンサー

契約者を A 、継続率を x とします。
１年後の契約者数は A x
２年後の契約者数は A x^2
３年後の契約者数は A x^3
・・・
n 年後の契約者数は A x^n

１年目に解約した人は A – A x = A (1 – x)
２年目に解約した人は A x – A x^2 = A (1 – x) x
３年目に解約した人は A x^2 – A x^3 = A ( 1 – x) x^2
・・・
n 年目に解約した人は A x^(n – 1) – A x^n = A (1 – x) x^(n-1)

平均値 S は上記の人数に年数をかけて、合計して、契約者数で割ったもの

S = {1 A (1 – x) + 2 A (1 – x) x + 3 A (1 – x) x^2 + ・・・
+ n A (1 – x) x^(n – 1)} / A
= (1 – x) (1 + 2 x + 3 x^2 + ・・・+ n x^(n – 1))

これをExcelなどで計算すれば、平均値は出てきます。
50年まで、平均値 14.6 年　契約者の残り 7.7%
80年まで、平均値 18.3 年　契約者の残り 1.7%
100年まで、平均値 19.2 年　契約者の残り 0.6%
最終的には 平均値 20 年になります。
S = 1 / (1 - x)

ここまでは、平均を求めるのに最初の契約者数で割りましたが、
そこまでに解約した人数で割る、という考え方もあるかと思います。
そのためには分母を
A (1 - x^n)
とします。
50年　15.8 年
80年　18.7 年
100年　19.4 年
n → ∞ では同じ20年になります。

回答No.1

nananotanu

これだけの条件では何を求めたいのかが分かりません

例えば、半数の人が契約を続けるのは何年間か、とかじゃないと