数学の質問（高校１年生）

質問

高校のテストで下のような問題が出ました。
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４０人のクラスの中から学級委員長１人を選ぶ。Ａ、Ｂ、Ｃ３人の立候補者について選挙を行う場合、次の各場合において、開票結果は何通りあるか？
ただし、投票は１人１票で、投票用紙には３人のうち、１人だけ名前を書くものとする。
（１）無効票がないとき
（２）無効票の可能性があるとき
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出題範囲は数学A「順列、場合の数、確率」ですが、先生から詳しい解説がなかった（と思います）ので、今も分からず困っています。
数学に詳しい方…アドバイスお願いします。

回答No.2

abyss-sym · ベストアンサー

票を○で表します。
○○○○○○○・・・・○○（40個）
ここに仕切り棒を入れます。
○○・・・○○｜○○・・・○○○｜○○・・○
左の仕切りより左側をＡの得票、真中をＢの得票、右をＣの得票とします。

これを40個の○と２本の｜の並び替えと考えます。
したがって、42!/(40!2!)=21×41=861 通り

無効票がある時は、仕切り棒を増やして、
○○・・・○○｜○○・・・○○｜○・・○○｜○○・・○
左から順にＡの得票、Ｂの得票、Ｃの得票、無効票として考えます。
(1)と同様計算すれば答えは出ます。

お礼

○と｜の並びにするという発想が出来れば分かるんですね。教えていただいて有難うございます。

回答No.5

kumipapa

皆さんが回答されているように、重複組み合わせの問題なんですが・・・しゃれじゃないですけど、皆さんの回答に重複して・・・

４０人というのは候補者も含めて４０人ですね。
候補者は自分には投票しないんですか？
それによって答えが変わります。まあ、数学の問題でそんな事を考えさせるのはどうかと思いますけど・・・。

無効票無しで候補者が自分には投票しない場合も想定　0≦A,B,CでA+B+C=40　となる整数の組み合わせ
無効票無しで候補者がかならず自分自身に投票する場合　1≦A,B,CでA+B+C=40　となる整数の組み合わせ
無効票ありで候補者が自分には投票しない場合も想定　0≦A,B,CでA+B+C≦40　となる整数の組み合わせ
無効票ありで候補者がかならず自分自身に投票する場合　1≦A,B,CでA+B+C≦40　となる整数の組み合わせ

となるような整数A,B,Cの組み合わせを求めることになります。

（１）【　0≦A,B,CでA+B+C=40　となる整数の組み合わせ　】
４０個の○と２本の｜を横一列に並べて、
○｜○○｜○・・・　ならA=1, B=2, C=37
｜○○｜○・・・　　ならA=0, B=2, C=38
○○｜○・・・○｜　ならA=2, B=28, C=0
というように左端から左の｜までの○の数をＡ、｜と｜の間に挟まれた○の数をＢ、右の｜から右端までの○の数をＣ、というように○と｜の並べ方と整数Ａ，Ｂ，Ｃの組み合わせとを対応させることができ、○と｜の並べ方の数が、そのまま整数Ａ，Ｂ，Ｃの組み合わせの数となる。
故に　42Ｃ2 通り（４２個の場所から｜を置く２箇所を選ぶ）

（２）　【　1≦A,B,CでA+B+C=40　となる整数の組み合わせ　】
今度は、A,B,Cが１以上の場合。
上と同じように○と｜を並べるが、整数の値が１以上なので、｜は連続して並べられない。また、｜を左端にも右端にも置けない。ということで、
○○○・・・・○
と４０個の○を書いて、○と○の隙間（３９箇所）のうち２箇所に｜を入れ、（１）と同じように○と｜の配置をＡ，Ｂ，Ｃの組み合わせに対応させて考えれば良い。
ということで、３９箇所のうち２箇所に○を入れるから、39Ｃ2 通り

（３）【　0≦A,B,CでA+B+C≦40　となる整数の組み合わせ　】
こんどはA,B,Cの合計が40以下になる場合の組み合わせ。
（１）とにているが、４０個の○と今度は３個の｜を並べることを考える。左側から一番左の｜までの○の数がＡ，１番左の｜から２番目の｜までに挟まれた○の数をＢ、２番目の｜からから３番目の｜までに挟まれた○の数をＣと対応させればよい。で、３番目の｜から右端までは余り（無効票の数）。故に、４３箇所から｜を置く３箇所を選ぶので、43Ｃ3 通り。

（４）【　1≦A,B,CでA+B+C≦40　となる整数の組み合わせ　】
やはり４０個の○と３個の｜を並べ、（３）と同じようにＡ，Ｂ，Ｃと無効票の数を○と｜の配列に対応させるが、A,B,C≧1より、｜は左端にはおけない（A=0になってしまうから）、また、｜は連続して置けない、右端に｜はあってもよい（無効票がゼロの場合に対応）、となる。従って、○と○の間３９箇所と右端の１箇所の合計４０箇所のうち３箇所に｜を置く事を考えればよいから、40Ｃ3 通り。

お礼

細かくアドバイスしてくださって感謝します。うちの高校数学の先生は、文章力に問題あるのかも？？！！と時々思ってました。いずれにしても○と｜を使って計算できるのが参考になりました。有難うございました。

回答No.4

noname#47050

開票結果というのは、Ａが当選とか、ＡＢ同数で決戦投票が必要とか、そういうのではないでしょうか？詳細な得票数ではなくて。
（１）なら
Ａが当選
Ｂが当選
Ｃが当選
ＡＢ同数決戦投票
ＢＣ同数決戦投票
ＡＣ同数決戦投票
ＡＢＣ同数には、、、なりませんね。
上記のようにカウントすればすぐ分かる内容ですが、コンビネーションを使っての説明が必要でしょう。

お礼

そういう考え方もありますよね。確かにそうだと思います。同感です。

回答No.3

postro

すでに回答は出ていて、「重複」しますが、ご参考に
「重複組み合わせ」について学習済みですか？
「重複組み合わせ」の基本問題
柿、なし、リンゴがたくさんある。７個入りの果物かごを作る。何通りの作り方があるか？ただし、一つも入らない果物があってもよい。
答え：　3H7=9C7=36通り
これと同様に考えることができます。
Ａ、Ｂ、Ｃの果物で４０個入りの果物かごをつくるのと同じことです。3H40=42C40
無効票の数をDとすればＡ、Ｂ、Ｃ、Dの果物で４０個入りの果物かごをつくるのと同じことです。4H40=43C40

回答No.1

chickenkatu

40人のクラスから立候補が3人なので投票する人は37人。

(1)の場合
無効票が無いので37人がABCの誰かに投票する。
37人がA、Bに0、Cに0
　36人がA、Bに1、Cに0
　36人がA、Bに0、Cに1
　　35人がA、Bに2、Cに0
　　35人がA、Bに1、Cに1
　　35人がA、Bに0、Cに2
　　　34人がA、Bに3、Cに0
　　　34人がA、Bに2、Cに1
　　　34人がA、Bに1、Cに2
　　　34人がA、Bに0、Cに3
　　　　 :
　　　　 :
…こんな感じですか。
(2)の場合は選択肢が増えるだけなので割愛します。

でも、これじゃ算数かな。