高校レベルの確率の問題

質問

質問しにくいのですが、たとえば選挙において、
　M人の候補者がいてN人の有権者が棄権無しで必ずM人のうち一人に一票投じるものとします。このとき、候補者の中の最初の人(仮にA氏としておきます)の得票が一票だけ、という確率を求めたい、とします。記名投票と無記名投票で確率が変わるのはなぜでしょうか。
　1、記名投票の時
まずA氏に投票する人を一人選ぶ…N通り
残りのN-1人はA氏以外に投票するので(M-1)^(N-1)通り
よって求める確率は、
N*(M-1)^(N-1)/M^N

2、無記名投票の時
A氏に投じられた一票以外の残りN-1票を残りのM-1人で分け合えばよいから、重複組み合わせを使って求める確率は、
{}_{N-2+M-1} C_{M-1} / {}_{N-1+M}C_{M}

この差はどこから出てくるのでしょうか？

回答No.4

Naoki_M · ベストアンサー

記名投票と無記名投票で確率が変わる、という前提が間違っています。記名投票と無記名投票で「A氏の得票が一票だけとなる場合の数」は変わりますが、「A氏の得票が一票だけとなる確率」は変わりません。残念ながら、質問者さんの書き込まれた無記名投票のときの確率の式は、成り立ちません。正しくは、記名投票のときと同じ式になります。「A氏の得票が一票だけとなる場合の数」を求めるときの考え方は合っています。しかし、無記名投票の場合は、これを使って確率を求めてはいけません。分母が同様に確からしくないからです。確率の定義を確認してみてください。

確率の定義
ある試行で、n通りのことが起こりえてそれらが同様に確からしいとする。そのうち、事象Aに属するものがa通りのとき、
　Aの起こる確率P(A)をP(A)=a/n
によって定める。

記名投票のときの分母は同様に確からしいですが、無記名投票のときの分母は同様に確からしくありません。これは、簡単な例をあげれば、無記名のコインを2枚投げて表がちょうど１枚出る確率はいくつか、という問題で、「表が2枚、表と裏が1枚ずつ、裏が2枚だから1/3」としてはいけないのと同じ理屈です。正しくは1/2で、記名したコインで計算した確率と同じになります。

お礼

漠然とした質問なのにうまく意図を汲んでくださりありがとうございました。
　場合の数に対するウエイトが違うということがわかりました。

回答No.3

shkwta

重複組み合わせの式が違っています。正しくは
{}_{N-2+M-1} C_{N-1} / {}_{N-1+M}C_{N}

しかし、上のように訂正しても不一致は解消しません。なぜ一致しないかの理由は簡単で、
「重複組み合わせは等確率ではないから」
です。

(例）
サイコロを３回振って１が３回出る確率。
正しくは、P=(1/6)^3=1/216 ですが、
重複組み合わせでやると
{}_{6} H_{3} = {}_{8} C_{3} = 56なので、P=1/56になってしまいます。

たとえば、「１が３回」と「１が２回と、２が１回」は重複組み合わせでは同じ１つの場合として数えますが、確率は前者に比べて後者が３倍あります。重複組み合わせは、確率が不均等なのです。

お礼

単純に場合の数の比を取ればいいと思っていました。
ありがとうございました。

補足

すみません。重複組み合わせの式を写し間違えました。

回答No.2

noname#24477

無記名投票にして確率が変わるでしょうか？

今３枚のコインがあります。
マジックペンで１，２，３と番号を書いておきます。
さて１枚だけ表になる確率は？

番号を消します。３枚のコインの区別は付きません。
さて１枚だけ表になる確率は？

見かけ上区別が付こうが付くまいが
確率計算はコインに区別が付くものとして計算する
のでは？

コインでは表さんと裏さんしか立候補できませんが
さいころなら１さんから６さんまで６人が立候補
できます。
１さんが１票だけ得票する確率は？

お礼

私も無記名になると確率が変わるといわれて戸惑って皆さんに質問させていただきました。
ありがとうございました。

回答No.1

masa072

記名投票の場合、N人のうちA氏に投票する人を決めます。残りはA氏以外に入れますが、記名投票なので誰が誰に投票したかがわかります。そのため、一人一人M-1人の誰かを選びます。
反面、無記名の場合、個人を特定できないので、誰かがA氏に入れてA氏の得票数が1票だったとして、残りのN-1票をM-1人でを分け合うことになります。

大きな違いは、投票者の票が誰に入ったか特定できるかどうかです。特定できれば1人1人について考えますが、特定できないならば集団として考えることになります。

お礼

誰が投票したか特定できなければ場合の数についてすべて同様に確からしい、と考えるのは自由な気がしますが、上の方々の話のほうが納得できるように思えます。ありがとうございました。