積分法の問題（大学受験）

質問

現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は「次の定積分の値を求めよ。
∫（1→2）(x-1)(x-2)dx」
です。

解答は-1/6となっています。私は、1/6だと思います。そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正になると思うのですが、解答は－になっています。どうしてでしょうか。とても単純で、いまさらな質問なのですが、質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.9

Rossana · ベストアンサー

☆ANo.3に対する補足回答
>S=－|p|∫（α→β）(x-α)(x-β)dx=|p|/6(β-α) ^3
>とありました。
ここで，Sはおそらく面積をSとおいたということでいいですよね．
まず，この式自体について丁寧に見てみましょう．
ANo.3で上引く下をすればできると言いました．
でも，この場合f(x)とg(x)のどちらが上か不明(∵pの符号が不明)ですね．
f(x)-g(x)=p(x-α)(x-β)
ですから，pの符号が正でも負でもいいように今回は絶対値を使います．絶対値はこういう不明な時に役立ちますね．
面積を出す場合は
S＝∫（α→β）|f(x)－g(x)|dx
＝|p|∫（α→β）|(x－α)(x－β)|dx　…　(1)
ここで，
(x－α)(x－β)というのはα≦x≦βの積分範囲では
(x－α)(x－β)≦0ですから，
|(x－α)(x－β)|＝－(x－α)(x－β)
となります．これを(1)式に代入して
S＝－|p|∫（α→β）(x－α)(x－β)dx
＝－|p|{－(1/6)(β－α)^3}
＝(|p|/6)(β－α)^3
という式が出てきました．この式は絶対値を用いたのでf(x)とg(x)のどちらが上か下かに限らず使える式です！！この式は常に正となります．

一方，∫（α→β）(x－α)(x－β)dxという式の値は常に負となります．違いが分かりますか？？

>つまりS=|p|/6(β-α) ^3ならば、
>この問題では、p=1で、
>S=1/6(1) ^3=1/6としました。
これはその通りでいいです．

☆最初の質問について
>そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正にな
>ると思うのですが
みなさんが言われるように，
(定積分)＝(面積)ではありません．
こういう表記はあまりよくないのですが，敢えて表記すれば
(定積分)＝±(面積)ということになるでしょう．
定積分は正にも負にもなりますが，面積は必ず正なのです．ここに，注意して下さい．
また，何か分からない事があったら質問して下さい．分かるまで，どんどん質問して下さい．分からない事を分かった気になるのが一番怖いです．完全に理解してしまいましょう．

お礼

Rossana様、度々ご丁寧な回答をいただきありがとうございました。
実は私はRossana様の回答を読ませてていただいても自分の矛盾に気づきませんでした。つまり積分の話をしているのに、私は積分の公式だと思って、実際には面積の公式を出してしまっていたのですね。それにずっと気づかなくて、Rossana様の回答を読ませていただいてから、「違いが分かりますか？？ 」の問いに「なにとなにの違い？」と延々と今まで五時間以上も考えていました…。やっと定積分と面積の違いがわかりました。今♯3の回答を読ませていただくと意味が大変よくわかりました。本当にありがとうございました。

それ以上に私の今回の疑問は「どうして定積分の結果がマイナスになるのか？」でした。それに関しては「 (定積分)≠(面積)」に帰結されますね。だからこそ、定積分の結果は常に正ではない、ということですね。

今回は思った以上にみなさんから御回答をいただくことができ、自分で深く考えることができました。お忙しいところ、本当にありがとうございました。また質問をさせていただくことがあると思いますが、宜しくお願いいたします。