小数の法則の「証明」組み合わせの展開

質問

https://ymurasawa.web.fc2.com/us-ln09.pdf
定理 3 (小数の法則)の「証明」で
一行目の右辺から二行目になるところの
【n!/{(n-x)!} (1/n^x)】
↓
(n/n){(n-1)/n}{(n-2)/n}…{(n-x+1)/n}
の計算方法を教えてください。

私が解いてみると、
lim[n→∞] n!/{x!(n-x)!} (λ/n)^x {1-(λ/n)}^(n-x)
= lim[n→∞] n!/{x!(n-x)!} (λ^x/n^x) {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)
= lim[n→∞] (λ^x/x!) 【n!/{(n-x)!} (1/n^x)】 {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)
= lim[n→∞] (λ^x/x!) 【{n(n-1)(n-2)…(2)(1)}/{(n-x)(n-x-1)…(2)(1)} (1/n^x)】 {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)
= lim[n→∞] (λ^x/x!) 【{n(n-1)(n-2)…(n-x+1)} (1/n^x)】 {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)
= lim[n→∞] (λ^x/x!) 【{n(n-1)(n-2)…(n-x+1)} /n^x)】 {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)
= lim[n→∞] (λ^x/x!) 【■謎の計算■】 {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)
= lim[n→∞] (λ^x/x!) 【(n/n){(n-1)/n}{(n-2)/n}…{(n-x+1)/n}】 {1-(λ/n)}^n {1-(λ/n)}^(-x)

{n(n-1)(n-2)…(2)(1)}/{(n-x)(n-x-1)…(2)(1)}
は
{n(n-1)(n-2)…(n-x+1)}
になりますよね？

(1/n^x)
が
(1/n)
だったらサイトに載っている式になると思うんですけど…。
どこかで間違えてしまっているんでしょうか？

ということで、【■謎の計算■】を教えてください。
どうかお願いします。

※さっきは間違いだらけの質問をしてしまったので削除しました。
解かれていた方、すみません。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

n!/{(n-x)!} はn(n-1)(n-2)…(n-x+1)となって、ちょうどx個の積です。
1/n^xもちょうどx個のnの積ですから、それぞれをnで割れますね。そうすると
n/n*(n-1)/n*(n-2)/n*…*(n-x+1)/n

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

仰る通りでした。
確かに、積なので各項をnで割るには
項の数(ここではx個)だけnが必要でしたね。
nが一つだけなら、最初の(n/n)しか割れないですね。

（想像はついているとは思いますが）
私の頭の中では、
{n + (n-1) + (n-2) + ... + (n-x+1)}/(n^x)
というように和になっていました。
回答をいただくまでは気付きませんでした。
脳が疲れているようです。（苦笑）
ご回答ありがとうございました！

回答No.1

gamma1854

【 1*(1 - 1/n)(1 - 2/n)***{1 - (x-1)/n} 】*{λ^x/x!}*{1 - λ/n}^(n-λ) → e^(-λ)*(λ^x)/x!, (n→∞)
となります。これは Poisson 分布の密度関数です。
------------
※ 分母の「x!」を忘れたのでしょうか。

お礼

すみません、分母のx!は（サイトでの計算通り）
lim[n→∞] (λ^x/x!)
に逃がしてあります。
実はこの質問はまさかこんなところで間違わないだろうレベルの質問でした。誤解を与えてすみません…。
ご回答ありがとうございました。