素因数分解で最小公倍数・最大公約数がわかるのは何故？

質問

この年齢になって、ちょっと恥ずかしいのですが
素因数分解について質問があります。

なぜ素因数分解で「最小公倍数」や
「最大公約数」がわかるのでしょうか？

最大公約数の場合、例えば８と１２だと

　２）８　１２
　　ーーーーーー
　２）４　　６
　　－－－－－－
　　　２　　３

　８＝２ｘ２ｘ２
１２＝２ｘ２ｘ３

となり、どちらの数にも縦軸の２ｘ２が共通だから
４が最大公約数になる、というのはわかるんですけど
なんか、いまいち説明になってないような気もします。

２、１２、１６で最小公倍数を求めた場合

　２）８　１２　１６
　　－－－－－－ーー
　２）４　　６　　８　
　　－－－－－－－－　
　２）２　　３　　４
　　－－－－－－－－　
　　　１　　３　　２

　８＝２ｘ２ｘ２
１２＝２ｘ２ｘ３
１６＝２ｘ２ｘ２ｘ２

なぜ２ｘ２ｘ２ｘ１ｘ３ｘ２で答えを出すことが
出来るのかわかりません。

いろいろ考えてはみたんですが・・・（＾＾：

猿にも理解出来るよう、教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

tarame

猿に理解させることは、私には出来ませんが……

素因数分解とは、素数の積に分解することですよね。
例えば　１２の素因数分解は
２）１２
　--------
２）　６
　--------
　　　３
だから、１２＝２×２×３　となります。

ある数の約数は、素因数分解して出てくる素数の積としてあらわすことが出来ます。
公約数は、共通な約数のことであり、その最大値が最大公約数です。
したがって、素因数分解してでてくる共通な素数を全部掛け合わせれば、最大の公約数になるわけです。

前述の素因数分解の計算をいくつかの数で同時に行なえば共通な素数を見つけることが出来る訳です。

また、最小公倍数ですが
素因数分解して出てくる素数のうち共通でないものを、
最大公約数にかけることで、全ての数の倍数になります。
それが公倍数の最小値であることは、必要最低限の素数のみ掛け合わせていることから分ります。

お礼

ご回答、どうもありがとうございました。

＞それが公倍数の最小値であることは、必要最低限の＞素数のみで掛け合わせていることから
＞分かります。

この言葉すごくわかりやすいです。
zou3さん（No.1）のお礼で書いた、
お互いの数を取り入れることへの違和感に対して、観念的に理解する手助けに
なりそうです。
残念ながらまだ理論的な理解を得るまでには達していないんですが・・・
とても助かりました。

ありがとうございました。