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素因数分解で最小公倍数・最大公約数がわかるのは何故？
yukichi623の回答
まずは小難しいことを考えずに、初心に返りましょう。 8の約数は、1,2,4,8 12の約数は、1,2,3,4,6,12 ですよね？ それで、これら約数の中に共通に含まれる値で、最大のものを最大公約数と呼んだわけです。 次に、素因数分解の結果を考えてみます。 8の素因数分解は、2*2*2 12の素因数分解は、2*2*3 ですね。 この素因数分解の結果を使って、それぞれの約数を全て表現できるってことに気づくのが第一歩です。 8だったら、 1:整数なら1を約数に持つのは自明 2:2 4:2*2 8:2*2*2 12だったら、 1: 2:2 3:3 4:2*2 6:2*3 12:2*2*3 とこのように、素因数分解の結果を適当に組み合わせることで、約数を作ることができます。 それで、各約数のうち、最大のものは何か？と考えると、共通する素因数を全て掛け合わせたものになるのです。 次に、最小公倍数です。 こちらで大切なポイントは、 8の素因数分解である2*2*2に何かを掛けたものは、絶対に8の倍数になるという点です。 つまり (2*2*2)*3=24→8の倍数ですよね。 (2*2*2)*13=104→これもやっぱり8の倍数ですよね。 ということで、問題に帰ってみて、なぜ8,12,16の最小公倍数が2*2*2*2*3で表現できるかということですが、多分もう、説明しなくてもおわかりだと思います。 最初の2*2*2の部分で8の倍数であることが保証されます。 それで、さらに2を掛けて、2*2*2*2とすることで、16の倍数でもあることが保証されます。 12の倍数になるということについては、後半の2*2*3の部分で保証されるわけです。 8,12,16の全ての倍数になることが保証されて、なおかつ最小になるというものが、2*2*2*2*3なのです。 こんな感じでどうでしょう？
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返信、ありがとうございます。 つきつめて考えていくと 「一体、ある数を素数の積に分解するって、どういう意味があるんだろう」と思う訳ですが、 なるほど、とりあえずは「素数の積に分解された数を使って全ての約数を表現するもの」と 考えると理解しやすいですね。 「共通」で「最大」の「約数」ってことがよくわかります。 また、最小公倍数の「保障」という考えも、とても参考になります。 つまり、 ８＝２ｘ２ ｘ２ １２＝２ｘ２ ｘ３ ８にｘ３を入れるのは８の倍数であると共に、１２の倍数であることを保障するためで １２にｘ２を入れるのは１２の倍数であると共に、８の倍数であることを保障するため。 そして、その保障はtarameさんの言うように 最小値で行われているため、最小公倍数が出てくる、という訳ですか。 なるほど、ようやく理解出来ました。 ありがとうございました。