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媒介変数のグラフの対称性について。

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お礼率 63% (620/975)

媒介変数、x(t)=cos(t+π/4),y(t)=cos(2t)(0≦t<2π)で与えられているとき、このグラフのx軸、y軸に対する対称性がなぜ、{x(-t)=x(t)、y(-t)=-y(t)}(←x軸に対する対称性)、{x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)}(←y軸に対する対称性)で与えられるのかが分かりません。また、なぜ、x、y軸に対する対象性を調べるとき、x(t)、y(t)両方調べなくてはいけないのかも分かりません。よろしければご教授願います。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4

前にも書いたつもりですが
y軸対称であることを言うのにtは関係ありません。
(と言ってしまうと言い過ぎですが)

xのときと-xのときにyの値が同じになる
というのがy軸対称です。

xのときのyの値(tでつながっているからtを使う)と
-xのときのyの値(これも同様)を計算して等しいか
どうかだけです。

xからtを求める→yの式のtに代入
-xからtを求める→yの式のtに代入
2つが等しければy軸対称

いまの問題式でいえば
xのときtとすると
-xのときt+π
それをyに代入して等しいのでy軸対称です。

x軸対称
yからtを求める→xの式のtに代入
-yからtを求める→xの式のtに代入
2つが等しければx軸対称
だけど

yのときtとすると
-yのときt+(π/2)
これをxの式に代入すると・・・・
xの値は等しくならないのでx軸対称ではないと思ったが
#3のtarameさんの式で対称性が示される。
yの値に対して複数のxが存在するらしい。

ためしにtを消去してみると
x^4-4x^2+4y^2=0
たしかにx軸、y軸に対称である。
お礼コメント
taiji

お礼率 63% (620/975)

ありがとうございます。分かりました。xとyの両方を同時に調べなければならない意味が。なるほど。そうですね。
投稿日時 - 2004-08-25 07:37:07
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 33% (64/192)

すでに、お二人の方がご指摘の通りx軸に対する対称性の式は間違っていますね。
y軸に対する対称性ですが、
>x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)
は、確かに成り立っていますね。
x0=x(t0),y0=y(t0)とすると、
t=t0+πのとき
x1=x(t)=-x0,y1=y(t)=y0となり
(x0,y0)と(x1,y1)はy軸で対称な点となります。
よって 「0≦t≦π でのグラフ」と「π≦t<2π でのグラフ」はy軸で対称であるといえます。

x軸対称のほうですが、
x(-t-π/2)=x(t),y(-t-π/2)=-y(t)という式で対称性を示すことが出来そうですね。
補足コメント
taiji

お礼率 63% (620/975)

投稿まことにありがとうございます。ところで、y(t+π)=y(t)が成り立つことは分かるのですが、それがどうして、y軸に対して対称といえるのでしょうか?また、x(t)に対しても同時に調べなければならないのはなぜでしょうか?引き続きお願いします。
投稿日時 - 2004-08-24 13:03:41
  • 回答No.2

たしかに x(t)=cos(t+π/4)ではx(-t)=x(t)は成り立ちませんね。
何か式を間違えていませんか?

座標軸に関する対称性の一般論として
(媒介変数はとりあえず考えないで)
y=f(x) がy軸対称である条件をいえますか?

あるいはx=g(y)がx軸対称である条件をいえますか。
媒介変数が話を厄介にしています。一時よけておいて
ください。

>x(t)、y(t)両方調べなくてはいけないのかも分かりません

いま問題にしているのはxy平面におけるx軸(あるいはy軸)に関する問題でしょう。t軸ではないですね。
当然xとyの関係を調べなくてはなりません。
お礼コメント
taiji

お礼率 63% (620/975)

投稿ありがとうございました。
投稿日時 - 2004-08-24 09:56:01
  • 回答No.1

ベストアンサー率 43% (42/96)

>このグラフのx軸、y軸に対する対称性がなぜ、{x(-t)=x(t)、y(-t)=-y(t)}(←x軸に対する対称性)、{x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)}(←y軸に対する対称性)で与えられる

これ、間違ってませんか?
そもそも、x(t)=x(-t)とはなっていませんし。
このグラフの対称性について調べる時には、
次のように考えます。

~x軸に対する対称性~
ある1つのxについて、tの値が二つ存在し、
その二つのtについてそれぞれyを計算すると、
それらが異符号の関係になっている。

具体的には、
x(t)=x0 を満たすようなtは二つあって、
片方をt1=α とすれば、
他方はt2=-α + 3/2π です。
t1、t2それぞれをy(t)の式に代入すると、
y(t1)=cos2α
y(t2)=-cos2α
となるので、y(t1)=-y(t2)の関係が
成り立っていることが分かります。
よって、このグラフはx軸対称となります。

y軸対象について考える場合も同じ考え方で出来るはずです。
こんな感じで大丈夫ですか?
お礼コメント
taiji

お礼率 63% (620/975)

投稿ありがとうございます!そうなんですよ。間違っているかどうかはちょっと自分でも分からないのです。Y軸について、なぜ、Y(t+π)なのか、ぜんぜん分からないのです。自分も調査中なので、今後ともよろしくお願いします。
投稿日時 - 2004-08-24 09:54:29
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