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媒介変数の問題

(1)点(-a,0)を除く円x^2+y^2=a^2は媒介変数tを用いて、 x=a(1-t^2)/(1+t^2) y=2at/(1+t^2) と表せることを示せ。 この問題を教えてください。逆はできるんですが、この証明は分かりません。

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  • 回答No.2

これは、数学の問題というより、論理(同値関係とかを理解しているか)の問題といった感じですね。 t=tanθ (または t=tanθ/2)と変数変換するという、ちょっと卑怯な方法もありますが、その場合でも、円上のすべての点が、(acosθ, asinθ)と表わすことができる、というを証明して(すくなくとも触れて)おかないとダメです。 真面目にやるなら、 媒介変数表示できる、ていうのは、つまり、1対1対応がある、てことなんで、 1. tを決めたときに、それに対応する円上の点(x,y)が存在すること 2. 円上の点(x,y)を決めたときに、それに対応するtが存在すること の2つを証明すればいいです。 1は、x=a(1-t^2)/(1+t^2), y=2at/(1+t^2) を円の式に代入して成り立つことを調べればOKです。 2は、 ・-a<x≦aかつy>0 ・-a<x≦aかつy<0 ・(x,y)=(a,0) の3つにでも場合分けして、 ・x=a(1-t^2)/(1+t^2),y=2at/(1+t^2) を満たすようなtが存在すること、を言えばいいですかね。 つまり、x=a(1-t^2)/(1+t^2) をを t に関する方程式だと思ってtについて解いて、解が存在することを確かめるのと、その解(のうちで適当なもの)が、y=2at/(1+t^2)を満たすことを言えばいいです。 もしかしたら、媒介変数表示てのは、単なる1対1対応、ってことじゃなくて、連続写像であること、ていう条件もあるのでしょうか。 でも、高校だと連続な曲線とかは習わないでしょうから、いいのかな。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1

条件より、x=a*cosθ、y=a*sinθ と置ける。‥‥(1) tan(θ/2)=t とすると、cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)、sinθ=2t/(1+t^2) ‥‥(2) (1)と(2)より明らか。

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