• ベストアンサー
  • 困ってます

高校数学 置換積分の計算問題です。

  ∫x^5√(1-x^2) dx   u = √(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2)   u^2 = 1 - x^2   x^2 = 1 - u^2.  x^4 = (1-u^2)^2.   du = (1/2)(1-x^2)^(-1/2)(-2x)dx     = -xdx/√(1-x^2) = -xdx/u   ∴-udu = xdx.   ∫x^5√(1-x^2) dx  = ∫x^4・√(1-x^2)・x dx  = -∫(1-u^2)^2・u・udu  = -∫(u^4-2u^2+1)^2・u^2 du  = -∫ u^6 - 2u^4 + u^2 du  = -( u^7/7 - (2/5)u^5 + u^3/3 ) + C  = - u^7/7 + 2u^5/5 - u^3/3 + C.   -u^7/7 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^6/7 = -√(1-x^2)・(1-x^2)^3/7   2u^5/5 = 2√(1-x^2)(√(1-x^2))^4/5 = 2√(1-x^2)・(1-x^2)^2/5   -u^3/3 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^2/3 = -√(1-x^2)・(1-x^2)/3   ∴∫x^5√(1-x^2) dx  = -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C.  これ、合ってますでしょうか? wolframa では   (-5/12)・(1-x^2)^(6/5) となります。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数69
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • asuncion
  • ベストアンサー率32% (1725/5351)

> ∴∫x^5√(1-x^2) dx > = -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C. 下を微分して上になったら、正しいんじゃないでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

そうですね(笑)。合ってました。

関連するQ&A

  • 置換積分

    ∫2x(x^2+1)dx について、 本の解法では u=x^2+1 とおき、dx=du/2x とする。 と書いてありますが、これは u=x^2+1 の両辺をxで微分するとdu/dx=2x  両辺にdxを掛け、2xで割る、 という変形を行っていると解釈してよろしいのでしょう?

  • 置換積分

    l=∫(0→2√2)6t√t^2+1dt ・・・(1) において、 u=t^2+1とおくと、2tdt=du t=0のとき u=1,t=2√2のとき u=9 ゆえに l=∫(1→9)3√udu ・・・➁ tで積分から、uで積分への計算がわかりません。 dt=du/2tを(1)に代入したのでしょうか。 (1)から、➁への計算を教えてください。

  • 積分:∫(x^2+1)^50*2x dx

    x^2=1=uとして、d/dx[F(x)]=d/du[F(u)]du/dx=f(u)du/dxの公式を使って求めるのですが、 教科書の解説ではこうなっています。 u=x^2+1とする。 du/dx=2xなので、 ∫(x^2+1)^50*2x dx=∫[u^50 du/dx] dx=∫u^50 du=u^51/51+C=(x^2 + 1)^51/51+C ∫(x^2+1)^50*2x dxから∫[u^50 du/dx] dx=∫u^50 duに移行する間に2xが消えてしまったように思います。 どこに行ってしまったのでしょうか? duを使った積分の基本問題だと思いますが、教科書の解説が分からずすいませんが、教えてもらえますか? よろしくお願いします。

  • 積分計算

    問題 ∫ [2, 3] (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx 定積分をする以前に∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx の計算に難儀しています。 いろいろな方法で計算してみましたがどれも途中で行き詰まってしまいます。 例えば ∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ x (2x^2 - 1 )dx x^2 をuとする。du/dx = 2x dx = du/2x ∫ (6u^2+ 3u -1)/ x(2u-1 ) du/2x ∫ (6u^2+ 3u -1)/ 2x^2 (2u-1 ) du ∫ (6u^2+ 3u -1)/ 2u (2u-1 ) du ½ ∫ (6u^2+ 3u -1)/ u (2u-1 ) du ½ ∫ 3(2u^2+u)-1 / 2u^2-u du この様な感じになってしまいます。 この問題はどの様に積分したらいいのでしょうか? 又この様な問題ではまずどこに目を向けたらいいのでしょうか? 普段分数を積分する時は分母を微分して分子になるか、とかそういう事をまず最初に考えるのですがこの様な問題ではどこに目を向けたらいいのでしょうか? 質問ばかりですみません、どなたか教えて頂けたら助かります。

  • 置換積分

    ∫(1→2√2)√(1+x^2)/xdxにおいて、 √(1+x^2)=t とおくと、x^2=t^2-1 、2xdx=2tdt、 dx=t/xdt ここからが質問したい箇所です。dx=t/√(t^2-1)dtが正解なのですが、x^2=t^2-1より、x=±√(t^2-1)にならない理由を説明してください。どなたかお願いします。

  • 部分積分

    部分積分の問題です。 ∫x^2ln(x^2+1) dx =1/3x^3ln(x^2+1) - ∫(x^3/3)*(2x/(x^2+1))dx ここまではあっていると思うのですが  これからどうしたらよいのか分りません。   この後どうしたらよいのでしょうか? お願いいたします。

  • 積分

    ∫1/(x^2+1)dxを解くと ∫1/xdx=log|x|より ∫1/(x^2+1)dx=log|x^2+1| でよろしいでしょうか

  • 高校数学,微分方程式

    xy‘=y+√(x^2+y^2)(1)(ただし、x≠0)の一般解をもとめよ。 (私の解答) (1)について、x≠0より、両辺をxで割ると、y‘={y+√(x^2+y^2)}/x ここで、xについて、x>0のときx=√x^2、x<0のとき、x=-√x^2より、 y‘=y/x±√{1+(y/x)^2}(1)‘ ここで、y/x=u(2)とおくと、y=xuより、y‘=u+xu`(3) (2)(3)を(1)に代入してxu‘=±√(u^2+1) よって、∫1/√(u^2+1)du=±∫1/xdx log|u+√u^2+1|=±(log|x|+C1) ここで、c1=logc2とすると、log|u+√u^2+1|=±log|x|C2 となったのですが、ここからどうすればよいのかがわかりません。 答えはC^2x^2-2Cy=1なのですが、この続きを教えてください。

  • 定積分の最小値

    x≦1のとき2x^2-7/2x+5/2 x>1のときx/2+1/2で定められる定数関数をF(x)として、このときのG(a)=∫a~a+1 F(x)dxの最小値を求める問題なんですが。 場合分けをして a≦0のとき2a^2-3a/2+17/12 0<a≦1のとき-2a^3/3+2a^2-3a/2+17/12 1<aのときa/2+3/4 になったのですが肝心の最小値の求め方が分からず、ここから先へ進めません>< どなたかご教授ねがいます;;

  • 積分が分かりません・・・。

    下の問題が分かりません。 問題数多いですが、、、よろしくお願いします。 本当に自分がばかすぎて困っています。 よろしくお願いします。 (1) ∫sin^2Xcos^3Xdx (2) ∫(0→2)√(2-X)dx (3) ∫(0→1)1/(√(4―X^2)dx (4) ∫(0→√3)1/(1+X^2)dx (5) ∫(0→π/2)Xsin^2Xdx (6) ∫(0→4)X^2/(X+1)dx (7) ∫(0→π/2)sin^6Xdx (8) ∫(0→π/2)sin^3Xcos^2Xdx (9) ∫(0→π/2)cos^7Xdx