高校数学 置換積分の計算問題
- 高校数学の置換積分の計算問題について説明します。
- 与えられた積分 ∫x^5√(1-x^2) dx の計算方法を解説します。
- 最終的な答えは -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C になります。
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高校数学 置換積分の計算問題です。
∫x^5√(1-x^2) dx u = √(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2) u^2 = 1 - x^2 x^2 = 1 - u^2. x^4 = (1-u^2)^2. du = (1/2)(1-x^2)^(-1/2)(-2x)dx = -xdx/√(1-x^2) = -xdx/u ∴-udu = xdx. ∫x^5√(1-x^2) dx = ∫x^4・√(1-x^2)・x dx = -∫(1-u^2)^2・u・udu = -∫(u^4-2u^2+1)^2・u^2 du = -∫ u^6 - 2u^4 + u^2 du = -( u^7/7 - (2/5)u^5 + u^3/3 ) + C = - u^7/7 + 2u^5/5 - u^3/3 + C. -u^7/7 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^6/7 = -√(1-x^2)・(1-x^2)^3/7 2u^5/5 = 2√(1-x^2)(√(1-x^2))^4/5 = 2√(1-x^2)・(1-x^2)^2/5 -u^3/3 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^2/3 = -√(1-x^2)・(1-x^2)/3 ∴∫x^5√(1-x^2) dx = -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C. これ、合ってますでしょうか? wolframa では (-5/12)・(1-x^2)^(6/5) となります。
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> ∴∫x^5√(1-x^2) dx > = -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C. 下を微分して上になったら、正しいんじゃないでしょうか。
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お礼
そうですね(笑)。合ってました。