- ベストアンサー
分数の積分問題
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) (x-1/2)^2+3/4 は要するに (2) y^2 + a^2 の形です． (3) y = a tan(u) とおいて (4) y^2 + a^2 = a^2 {tan^2(u) + 1} = a^2 {1/cos^2(u)} としたいので，(3)のようにしているのです． 今は a^2 = 3/4 だから a = (√3)/2 になっています． (4)で a^2 がくくり出せるようにしておかないと， (5) tan^2(u) + 1 = 1/cos^2(u) が使えません． それから，数学的内容とは直接関係ありませんが (√3)tanu/2 と書かれると (√3)tan(u/2) なのか，(√3)tan(u)/2 なのか，区別がつきません． テキストで式を書くには誤解されないように細心の注意が必要です．
関連するQ&A
- 積分の問題で答えが二つでます。
∫(3x + 2)^2 dx という問題なんですが、答えが二つでてしまって困っています。 展開してみると、 ∫(3x + 2)^2 dx = ∫(9x^2 + 12x + 4) dx = 3x^3 + 6x^2 + 4x + C となりますが、 置換積分でしてみると、 u = 3x + 2 du = 3dx dx = du/3 ∫(3x + 2)^2 dx = ∫u^2 * du/3 = ∫1/3 * u^2 du = 1/9 * u^3 + C = 1/9 * (3x + 2)^3 + C = 1/9 * (27x^3 + 54x^2 + 36x +8) + C = 3x^3 + 6x^2 + 4x + 8/9 + C となります。 どういう理由で一方のやりかたでやらなければいけなくて、どういう理由でもう一方のやりかたを使ってはいけないのか、というあたりを教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分について聞きたいことがあります。
∫√(2x-1) dx という問題なんですが、僕がやると二つ答えが出てしまいます。どこが間違ってるのか、教えてください。 ひとつめは、 ∫√(2x-1) dx = 2*2/3*(2x-1)^3/2 + c = 4/3*(2x-1)^3/2 + c となり、 ふたつめは、 ∫√(2x-1) dx u = 2x-1 とおいて、 du = 2*dx dx = du/2 ∫√(2x-1) dx = ∫1/2*√u du = 1/3*u^3/2 + c = 1/3*(2x-1)^3/2 + c となります。 ふたつめは置換積分でやりました。 どっちが正しいのか、というのと、なぜもう一方のやり方でやってはいけないのか、という理由を教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- この積分の求め方を教えて下さい。お願いします。
こんにちは、式を打つことができなかったため、添付の通り、手書きで失礼します。 もともとは物理の問題だったのですが、答えを求める最終工程での積分でつまづいており、 何とか解法を教えていただけないかと思いました。 二問ありまして、両方とも式の基本的な骨格は似ているのですが、もしかしたら解法はことなるのかも知れません。 Q１は、「いつのまにやら」解けてしまいました。 u = (x^2 + a^2)として、置換積分を始めたところ、 インテグラルの中身が二つの関数、片方はx、もう片方は(x^2 + a^2)^(-3/2)でありまして、xが uをxについて微分したもので表せることに気付きました。つまりdu/dx = 2x したがって、xは(1/2) du/dx これをインテグラルの中に代入すると、du/dx とdxが中に存在することになり、duで表されてしまいました。すると後は、uについて積分してあげれば答えは出てしまいました。確かに求めた答えはあっているのですが、一体どういった定理・公式を使ったのか、偶然できただけなのか、解いた本人が理解しておりません。どうか、お教え頂ければと思います。 Q2は、途中でつまづいています。そのため、途中の経過も正しい道に進んでいるのかわからなくなってしまいました。基本的には置換積分を使っています。ところが、u = (x^2 + a^2)として置換作業をしようとしても、xが二乗であるため、シンプルにxをuの関数で表すことができません。 本来は、∫f(u) dx/du du と置換積分の公式に乗せたいところですが、dx/duがシンプルに求まりません。つまり、u = (x^2 + a^2)をuについて微分すると、1 = 2x dx/du + 0 となり、dx/duがuの関数に収まってくれません。このため、∫f(u) dx/du du = ∫u^(-3/2) (1/2x) duとなり、インテグラルの中身がまだ二つの文字が含まれ、ここで計算が止まってしまいました。どうか、解法のヒントを与えて頂ければと思います。 この文章や添付で式が見辛いことがあるかと思いますが、すみません。 その際はご指摘頂ければ書き直します。 以上の二点について、どうか宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分：∫(x^2+1)^50＊2x dx
x^2=1=uとして、d/dx[F(x)]=d/du[F(u)]du/dx=f(u)du/dxの公式を使って求めるのですが、 教科書の解説ではこうなっています。 u=x^2+1とする。 du/dx=2xなので、 ∫(x^2+1)^50＊2x dx=∫[u^50 du/dx] dx=∫u^50 du=u^51/51+C=(x^2 + 1)^51/51+C ∫(x^2+1)^50＊2x dxから∫[u^50 du/dx] dx=∫u^50 duに移行する間に2xが消えてしまったように思います。 どこに行ってしまったのでしょうか？ duを使った積分の基本問題だと思いますが、教科書の解説が分からずすいませんが、教えてもらえますか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- arcsinxの積分
以下は自分なりの回答です。 ∫arcsinx•1dx=x•arcsinx -∫ x/√(1-x^2) dx x^2=uのとき、dx•2x=duより ∫ x/√(1-x^2)dx=1/2∫ 1/√(1-u) du =1/2log|1-u| したがって、∫ arcsinx dx = x•arcsinx -1/2log|1-x^2| …だと思ったんですが、答えは xarcsinx + √(1-x^2)でした。 何が違ったのでしょう？教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学 置換積分の計算問題です。
∫x^5√(1-x^2) dx u = √(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2) u^2 = 1 - x^2 x^2 = 1 - u^2. x^4 = (1-u^2)^2. du = (1/2)(1-x^2)^(-1/2)(-2x)dx = -xdx/√(1-x^2) = -xdx/u ∴-udu = xdx. ∫x^5√(1-x^2) dx = ∫x^4・√(1-x^2)・x dx = -∫(1-u^2)^2・u・udu = -∫(u^4-2u^2+1)^2・u^2 du = -∫ u^6 - 2u^4 + u^2 du = -( u^7/7 - (2/5)u^5 + u^3/3 ) + C = - u^7/7 + 2u^5/5 - u^3/3 + C. -u^7/7 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^6/7 = -√(1-x^2)・(1-x^2)^3/7 2u^5/5 = 2√(1-x^2)(√(1-x^2))^4/5 = 2√(1-x^2)・(1-x^2)^2/5 -u^3/3 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^2/3 = -√(1-x^2)・(1-x^2)/3 ∴∫x^5√(1-x^2) dx = -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C. これ、合ってますでしょうか？ wolframa では (-5/12)・(1-x^2)^(6/5) となります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- たわみ角とたわみ曲線の求め方（不定積分の仕方）
たわみ角とたわみ曲線の求め方（不定積分の仕方） 今、大学の授業で「たわみ角とたわみ曲線」を求める問題を解いています。 この問題では(1)と(2)の方法で答えが変わってきてしまいます。 答えを見ると(2)の置換積分で解いた答えが正しいようです。 何故でしょうか？ 説明よろしくお願いします。 (1)A=∫(l-x)^2dx =∫(l^2-2lx+x^2)dx A=(l^2)x-lx^2+(x^3)/3+C x=0のとき A=C (2)A=∫(l-x)^2dx u=l-xとする du/dx=-1 dx=-du A=-∫u^2du =-(u^3)/3+C =-{(l-x)^3}/3+C x=0のとき A=-(l^3)/3+C x=0のときのAの値が異なってしまいます。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 積分計算
問題 ∫ [2, 3] (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx 定積分をする以前に∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ (2x^3 - x )dx の計算に難儀しています。 いろいろな方法で計算してみましたがどれも途中で行き詰まってしまいます。 例えば ∫ (6x^4 + 3x^2 -1)/ x (2x^2 - 1 )dx x^2 をuとする。du/dx = 2x dx = du/2x ∫ (6u^2+ 3u -1)/ x(2u-1 ) du/2x ∫ (6u^2+ 3u -1)/ 2x^2 (2u-1 ) du ∫ (6u^2+ 3u -1)/ 2u (2u-1 ) du ½ ∫ (6u^2+ 3u -1)/ u (2u-1 ) du ½ ∫ 3(2u^2+u)-1 / 2u^2-u du この様な感じになってしまいます。 この問題はどの様に積分したらいいのでしょうか？ 又この様な問題ではまずどこに目を向けたらいいのでしょうか？ 普段分数を積分する時は分母を微分して分子になるか、とかそういう事をまず最初に考えるのですがこの様な問題ではどこに目を向けたらいいのでしょうか？ 質問ばかりですみません、どなたか教えて頂けたら助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一階常微分方程式の本の答えと比較
次の微分方程式の一般解を求めよ。 y^2 + x^2 dy/dx = 2yx (y/x)^2 + dy/dx = 2 y/x dy/dx = x du/dx + u から u^2 + x du/dx + u = 2u すなわち x du/dx = -u^2 + u これを変形して 1/(u^2-u) du/dx = -1/x ←ここから自分の答えとは異なり始めます 両辺を積分して ∫( 1/(u^2-u) ) du = -∫1/x dx ∫( 1/(u-1) - 1/u ) du = -∫1/x dx から log|(u-1)/u| = -log|x| + C これより C' = e^C (u-1)/u = C'/x u=y/x を代入すると (y-x)/y = C'/x 更に整理して y = x^2/(x-C') と、本の答えには書いてあります。 自分の答えは x du/dx = -u^2 + u これを変形して 1/(u-u^2) du/dx = 1/x ←ここから本の答えとは異なり始めます 両辺を積分して ∫( 1/(u-u^2) ) du = -∫1/x dx ∫( 1/u - 1/(1-u) ) du = ∫1/x dx から log|u/(1-u)| = log|x| + C これより C' = e^C u/(1-u) = C'x u=y/x を代入すると y/(x-y) = C'x 更に整理して y = C'x(x-y) y = C'x^2-C'xy 1 = C'x^2/y-C'x 1 + C'x = C'x^2/y (1 + C'x)/C'x^2 = 1/y y = C'x^2/(1 + C'x) になりました。 本の答えとは等価ではないようです。 でも、両辺の符号を変えなかっただけなので、自分の計算方法でも正しい答えが得られると思っています。どこから間違ってしまったのか教えてください。どうかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
恐れ入ります。 ありがとうございました。 初心者なものでいろいろ教えて下さい。