ゲーム理論

質問

以下のゲーム理論に関する問題が解けず困っています。

一労働者と一企業のゲームを考える。第1ステージで、労働者が自身のスキルを高めるための投資Iを選択する。労働者個人の投資費用はI^2/2である。（←見づらくてすみません、Iの2乗を2で割ったものが費用です。）企業はIを観察する。第2ステージで、企業は労働者に賃金ｗを提示する。第3ステージで、労働者はそれを承諾するか、拒否するかを選ぶ。労働者が承諾するならば、企業に雇われてw-I^2/2の利得を得る。企業の利潤は6I-wである。労働者が拒否するならば、自営業により4I-I^2/2の利得を得る。企業の利潤は0である。

（１）このゲームのサブゲーム完全均衡を明示しなさい。また均衡での投資量を求めなさい。
（２）第2ステージで労働者が賃金ｗを提示し、第3ステージで企業が承諾するか否かを選ぶゲームに変更する。サブゲーム完全均衡での投資量を求めなさい。
（３）上の（１）と（２）の違いを説明しなさい。均衡投資量を決定する要因として何が重要か説明しなさい。

ゲーム論に関する問題が本当に苦手で、手も足も出ません。
（１）では、労働者はw>4Iなら承諾、w<4Iなら拒絶すると思うのですが、そこから均衡を見つけ出す方法がわかりません。
どなたかご説明いただけますと幸いです。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

サブゲーム完全均衡の「結果」を示すことは難しくない。後ろから（バックワードに）解いていけばよい。第3段階において、あなたも気づいたように、労働者はW≧4Iなら、企業に雇われることを「承諾」し、W＜４Iなら「拒否」する。拒否したときの労働者の効用は4I - I^2/2≦8（最大値８はI＝４のときに起こる（なぜ？）したがって、労働者はW≧4×4＝16なら、「承諾」し、W＜16なら「拒否」する。
第2段階において、企業は６I-W≧0、つまりW≦６Iなら、労働者を雇い、W＞６Iなら、企業を閉鎖する（雇わない）。I=４を代入すると、W≦6×4=24のとき雇い、W＞24なら雇わない。つまり、賃金Wは16≦W≦24となるが、賃金は企業が提示するので、W=16を選択し、提示する（なぜ？）
第1段階では労働者はスキルへの投資量をI=4に決定し、企業で働くことになる。

(2)第2段階で労働者がWを提示するなら、W=24を提示する（なぜ？）企業はこれを受け入れる。(1)と(2)では労働者の効用、企業の利潤に差がでることになる。(2)の場合のほうが労働者の効用が高くなり、企業の利潤は低くなる。
(3)賃金提示のタイミング、つまり企業と労働者のどちらが提示するかが重要。均衡投資量は(1)と(2)で違いはない（I=4）。つまり、Iを決定するのは自営業のときに得られる投資量、リザベーション投資量だ。

お礼

上記補足（追加質問）に関しまして

先ほど書いて見直したところ、微分して最大値を見つけ出すことができました。
丁寧にご回答いただきましてありがとうございます。

補足

ご丁寧な解説ありがとうございます。
一つ質問がございます。
「拒否したときの労働者の効用は4I - I^2/2≦8」と書かれていますが、この最大値8はどこから導いたものでしょうか。
ご教示いただけますと幸いです。