ゲーム理論の問題です。至急お願いします。

質問

ゲーム理論の問題です。至急、回答よろしくお願いします。
問１ 二人のプレイヤー (1 と 2) が 100 円を分け合う問題を考える. プレイヤー 1 は x 円オファーし, その後プレイヤー 2 は受託 (A) か拒否 (R) のどちらかを選ぶ. x は 0 ≤ x ≤ 100 の実数であるとする. プレイヤー 2 が A を選んだ場合, プレイ ヤー 1 の取り分は x 円, プレイヤー 2 の取り分は 100 － x 円とする. プレイヤー 2 が R を選んだ場合, 交渉は決裂し両者の取り分は 0 円となる.
プレイヤー 1 の取り分を x1 円, プレイヤー 2 の取り分を x2 円とした場合のプレ イヤー 1 の利得は x1, プレイヤー 2 の利得は x2 + β(x2 － x1) で与えられるもの とする (β は正の定数). 部分ゲーム完全均衡における各プレイヤーの利得を求 めなさい. 導出過程も書きなさい.
※ プレイヤー2はAを選んでもRを選んでも利得が同じ場合Aを選ぶとする.

問２ ある財の市場で 3 つの企業 1, 2, 3 が数量競争を行うとする. 各企業の財を一単 位生産するための費用は30であるとする. 企業1がx1, 企業2がx2, 企業3が x3 生産した場合, 市場価格は p = 120 － (x1 + x2 + x3) で与えられるとする. こ の時, 各企業i = 1,2,3の利得は, πi(x1,x2,x3) = [120－(x1 +x2 +x3)]xi －30xi となる. まず, 企業 1 が最初に生産量を選び, 企業 2 と企業 3 は企業 1 の生産量 を知った上で同時に生産量を決定する. 部分ゲーム完全均衡における各企業の 生産量を求めなさい. 導出過程も書きなさい.

回答No.2

statecollege

回答１の訂正。
a2 = A if x2 ≦100(1+β)/(1+2β）
　 = R if x2 > 100(1+β)/(1+2β）
のところは
a2 = A if x1 ≦100(1+β)/(1+2β）
　 = R if x1 > 100(1+β)/(1+2β）
と訂正してください。
つまり、プレイヤー2は、プレイヤー１のアクションであるx1の大きさによってAを選ぶか、Rを選ぶか決める、ということです。回答が変だと思ったら、追加質問をするなりしておかしいところを指摘しないとだめですよ。

回答No.1

statecollege

問１．サブゲーム完全均衡を求めるときは後ろから解く（後ろ向き推論）。プレイヤー２の手番となったとき、利得Π２は、Rを選べばΠ2＝０、Aを選べば、x2＝100-x1に注意すると
Π２＝(100-x1) + β(100-2x1) = 100(1+β) - (1+2β)x1
となる。したがって、プレイヤー２はAを選ぶなら
Π２≧０⇔x1≦100(1+β)/(1+2β)
となる。したがって、プレイヤー2の最適反応関数は、a2をプレイヤー2のアクション(行動）とするとき
a2 = A if x2 ≦100(1+β)/(1+2β）
　 = R if x2 > 100(1+β)/(1+2β）
となる（なぜ？）
これを見越したプレイヤー１の最適戦略（アクション）
a１＝x1＝100(1+β)/(1+2β）
となる（なぜ？）。この戦略の組がサブ(部分)ゲーム完全均衡だ。このときの、両プレイヤーの利得（Π1,Π2)は
Π1 =100(1+β)/(1+2β
Π2=０
となる。
問2．問1と同様「後ろ向き」に解く！
ステップ１．企業２と企業３の手番になったときを考える。x1を所与として、通常のナッシュ均衡(クールノー均衡）を求める。
ステップ２．企業1はそうして求まった企業2と3の反応関数（x2とx3はいずれもx1の関数）のもとで、自分の利潤を最大化するx1を選択する。以上のステップを使って求めてみてください。出来上ったら見せてください。
2企業が競争するクールノー寡占と、2企業のうち１つの企業が先導者となるシュタッケルベルグの寡占は勉強しましたよね！問2はそれらの応用です。