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2階微分方程式の初歩的なことなんですが
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下記の微分方程式についての質問です。 k * (d^2 y/dx^2) = a * y^2 …(1) ここで、k, a は定数、(d^2 y/dx^2)はyの2階微分（つまりy''）を表しています。また、* は積を表しています。 この2階微分方程式の一般解を求めたいのですが、詰まっています。 私のやり方は、まず(d^2 y/dx^2)=y'' として k * y'' = a * y^2 …(2) (2)の両辺に2y'をかけて k*y''*2y' = a * y^2 * 2y' これより ( k * (y')^2 )' = ( 2a* (y^3/3) )' 両辺を積分して k * (y')^2 = (2a/3) * y^3 + C1 …(3) (ただしC1は積分定数) このあと、変数分離すればとけるはずなのですが、 その先が詰まっています。 C1があるせいで積分できないのです。 これは一般解が求められないのでしょうか？ また、初期条件は x=0でy=y0、x→∞でy=0 なので、x→∞でy'=0 と考えて、(3)よりC1=0 として考えると、 うまく変数分離できて y^(-3/2) dy = √(2a/3k) * dx ∴ y^(-1/2) = (-1/2) * √(2a/3k) *x + C2 (C2は積分定数) ∴ y = ((-1/2) * √(2a/3k) *x + C2)^(-2) …(4) 初期条件より C2 = y0^(-1/2) という感じで解いていったのですが、 どうやら解答は y = p * (x + q)^(-2) ただし、p = 6k/a, q = (a*y0/6k)^(-1/2) となるようです。。。 何度見直してもこうならないのですが、 私の計算ミスでしょうか。。。？ (i) 式(3)の一般解 (ii) 式(4)が合っているか に関して、どなたか知恵をお貸しいただければ幸いです。 数式見づらくて恐縮です。
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d/dx{1/log(x)*dy/dx}=0って問題なんですが、自分なりに解いてみたんですが、あってるかどうか教えてください。 /////回答///////////////////////////// 一回積分して 1/log(x)*dy/dx=C1 dy=C1*log(x)*dx 積分して y+C2=C1{x*log(x)-x} でいいんでしょうか？ 特に、一番初めの積分が成り立つのかが不安なんですが。 ご教授お願いします。 特にd(f(x,y))の部分がよくわかってません。
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お礼
回答ありがとうございました。 なんとかしっくりきました。