答えがなくて困っています

質問

y= sin3θcosθの最大値を出してほしいです。
0<θ<π/3です。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.1です。少し補足します。

√(1656+264√33)=√4(414+66√33)なので、2をくくりだして約分できますね。
最大値は1/32(√(414+66√33)(二重根号)です。

ついでに別解です。tanx=t とおくと、(0＜x＜π/3　より0<t<√3）

sin2x=2t/(1+t^2) またcos2x=(1-t^2)/(1+t^2) であるから、
　1/2（sin4x+sin2x)に代入すれば、
　f(t)=1/2[(2t/(1+t^2))(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)]　となり、整理すると
f(t)=(3t-t^3)/(1+t^2)^2 となる。…（１）xで微分して整理すれば
f'(t)=(t^4-12t^2+3)/(1+t^2)^3
分母は常に正であるから、f'(t)=0 となるのは分子=0とおいて
t=±√(6±√33）[二重根号、複号は任意]という4実数解のときである
このうち0<t<√3の範囲にあるのは、t=+√(6-√33)（約0.5054）だけであり、
このときf'(t)の符号が、正⇒負　となるので、f(t)は最大値となる。

答え　最大値はf(√(6-√33)）=1/32(√(414+66√33)(二重根号)
　　　ただしこのときx=arctan（√(6-√33)）　(二重根号）　

なお（１）のグラフは下の通りで、No.2様が書いてくださった元のsin3xcosxのグラフとは当然形が微妙に異なりますが、0<x<π/3　（0<t<√3)の範囲で、対応する値や最大値（約0.88）はもちろん一致しています。

回答No.6

178-tall

ANo.3 の結末の転記ミスを訂正。

　sin(3*θ02)*cos(3*θ02)≒0.880

回答No.4

178-tall

>0<θ<π/3
… の場合なら、No.1 さんの
>sin3xcosx = 1/2(sin4x+sin2x)
… のほうが簡単ですネ。

右辺の非負零点 x≒0.593 = cos(2θ) から、θ≒0.468 (radian) が得られます。
もう一つは「負零点」なので、第一象限の零点を割り出すのに手がかかる。

回答No.3

178-tall

>y= sin3θcosθの最大値を出してほしいです。
>0<θ<π/3 …

3 倍角公式
　sin3θ= 3sinθ-4sin^3θ
で sinθ = t として、
　sin3θcosθ = (3t-4t^3)*√(1-t^2) = f(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓ 微分
　f’(t) = { 16t^4 + 18t^2 + 3 }/√(1-t^2)

f’(t) の零点 t01, t02 を求めると、
　t01≒0.960　→　θ01≒1.287 (radian)
　t02≒0.451　→　θ02≒0.468 (radian)
なので、θ02 が
>0<θ<π/3 …
に該当。

明らかに「最大値」らしいから、求めてみる。
　sin(3*θ02)*cos(3*θ02)≒0.870

回答No.2

BASKETMM

私の回答は、求められている答ではありません。
他の方の回答をイメージで分かりやすく出来ればと口を出しました。
グラフを見ると安心するでしょう。
グラフは、http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2　に
画いて貰いました。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2

回答No.1

staratras

やや計算が面倒なので、少し途中を省略しています。
f(x)=sin3xcosx は、三角関数の積⇒和の公式から
f(x)=1/2(sin4x+sin2x) です。xで微分すると
f'(x)=2cos4x+cos2x
f'(x)=0 とすると
f'(x)=4(cos2x)^2+cos2x-2=0 と変形できるのでcos2x=tとおくと
4t^2+t-2=0 よりt=(-1±√33)/8
また0<x<π/3　より-1/2<t<1 これを満たすtの値は
t=(-1+√33)/8≒0.593…　このときf'(x)は正⇒負となるのでf(x)が最大値となる
cos2x=(-1+√33)/8 のときsin2x=(1/8)√(30+2√33) (二重根号)であるから
f(x)=(1/2)((2sin2xcos2x)+sin2x)=(1/64)(√1656+264√33)（二重根号）

答え　最大値は(1/64)(√1656+264√33)（二重根号）　(約0.8800862965)
このときxはcos2x=(-1+√33)/8 を満たす（約0.4679647278rad,約26.81240387度）

なおこの最大値は√(207+33√33)/512）(二重根号で左端のルートは右端の/512までかかる）とも表わせます。