二項係数と等式の証明

質問

この問題がわかりません。解答の最初の展開からよくわかりませんでした。
どなたか説明してください。お願いします。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

青線の部分だけの回答にします。

(1+x)^n*(1+x)^n
=(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)*(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)

これを後ろの括弧内は塊のままにしてひとつずつ展開したのが
nC0(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)+nC1x(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)
+……+nCnx^n(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)
です。

以上がアンダーラインの部分でした。以下は

x^nの項は
(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)の展開式からはnC0*nCnx^n=(nC0*nCn)x^n
nC1x(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)の展開式からはnC1x*nCn-1x^n-1=(nC1*nCn-1x^n-1)x^n
……
nCnx^n(nC0+nC1x+nC2x^2+……+nCnx^n)の展開式からはnCnx^n*nC0=(nCn*nC0)x^n
を得ます。
だから，x^nの係数は
nC0*nCn+nC1*nCn-1+nC2*nCn-2……nCn-1*nC1+nCn*nC0

と，続きますがもうよろしいようですね。

※　難しく考えすぎなんじゃないでしょうか。数学の演習問題は難しくなればなる程，泥臭い計算が威力を発揮するものですよ。「何か特別な定理(公式)があるんじゃないか。それがわからない……」ではなく，単純にコツコツと計算することも試してみて下さい。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

jcpmutura

(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}

(1+x)^n=Σ_{k=0～n}(nCk)x^k
(1+x)^n=Σ_{j=0～n}(nCj)x^j
だから
(1+x)^n(1+x)^n
={Σ_{k=0～n}(nCk)x^k}{Σ_{j=0～n}(nCj)x^j}
↓分配則から
=Σ_{k=0～n}(nCk)x^k{Σ_{j=0～n}(nCj)x^j}
↓分配則から
=Σ_{k=0～n}Σ_{j=0～n}(nCk)x^k(nCj)x^j
↓結合交換則から
=Σ_{k=0～n}Σ_{j=0～n}(nCk)(nCj)(x^k)(x^j)
↓指数法則から
=Σ_{k=0～n}Σ_{j=0～n}(nCk)(nCj)x^{k+j}
だから
x^nの項の係数は
k+j=n,(0≦k≦n)
j=n-k,(0≦k≦n)
の時
Σ_{k=0～n}(nCj)(nCk)
↓j=n-kだから
=Σ_{k=0～n}{nC(n-k)}(nCk)
↓nC(n-k)=nCkだから
=Σ_{k=0～n}(nCk)(nCk)
=Σ_{k=0～n}{(nCk)^2}
一方
(1+x)^{2n}=Σ_{m=0～2n}(2nCm)x^m
においてx^nの項の係数は
2nCn
したがって
Σ_{k=0～n}{(nCk)^2}=2nCn
(nC0)^2+(nC1)^2+…+(nCn)^2=2nCn

お礼

ありがとうございました！