関数の等式の証明

質問

19歳学生です。
下のような問題が出されました。

lim(t→∞)[(t^k)/(e^t)]=(t^k)/{1+t+(t^2)/2+(t^3)/6+・・・}
k：正の定数

というものです。
解こうと思ってチャレンジしたのですが、左辺を計算すると０になってしまいました。
また、(e^t)を展開して考えても、なぜリミットが無くなるのかわかりませんでした。
この問題（等式）は合っていますか？
また、合っているとしたら解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

＞lim(t→∞)[(t^k)/(e^t)]=(t^k)/{1+t+(t^2)/2+(t^3)/6+・・・}

[(t^k)/(e^t)]=(t^k)/{1+t+(t^2)/2+(t^3)/6+・・・}はヒントで
「lim(t→∞)[(t^k)/(e^t)]=」が問題ですね。

lim(t→∞)[(t^k)/(e^t)]=lim(t→∞)(t^k)/{1+t+(t^2)/2+(t^3)/6+・・・}
≦lim(t→∞)(t^k)/{(t^(k+1)/(k+1)!}　…分母のt^(k+1)の項だけ取る
=lim(t→∞) 1/{(t/(k+1)!}=0

t＞0で(t^k)/(e^t)＞0から

∴lim(t→∞)[(t^k)/(e^t)]=0

お礼

回答を下さった3人の方、ありがとうございました。
自分でも考えてみましたが、3人の方々がおっしゃるとおり、等式としては成り立ちませんね。
info22さんの解きかたを参考にさせていただきます＾＾
ありがとうございました。

回答No.2

hermite

右辺の分母は、(e^t)のテイラー展開そのものです。よって、limがなくなってしまっているのはミスだと思われます。

回答No.1

LPLBIF

左辺でtが∞に発散しているのに
右辺にtが入っているのはおかしいと思うんですが…。