線形代数学についての質問です

質問

R^2の部分空間W₁={(α,0)│α∈K}とW₂={(0,β)│β∈K}に対し線形空間R^2はW₁とW₂の直和になることを示しなさい
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

W1={(α,0)│α∈K}がR^2の部分空間であるためには
K=Rでなければならない
W1={(α,0)│α∈R}でなければならない
W2={(0,β)│β∈K}がR^2の部分空間であるためには
K=Rでなければならない
W2={(0,β)│β∈R}でなければならない
任意の(α,β)∈R^2に対して
(α,β)=(α,0)+(0,β)
(α,0)∈W1={(α,0)│α∈R}
(0,β)∈W2={(0,β)│β∈R}
だから
R^2=W1+W2…(1)

(α,β)∈W1∩W2
とすると
(α,β)∈W1だからβ=0
(α,β)∈W2だからα=0
だから
(α,β)=(0,0)=0∈{0}
だから
W1∩W2={0}
これと(1)から
R^2=W1(+)W2,(R^2はW1とW2の直和になる)

お礼

詳しい回答ありがとうございました！